ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Îáâ³äíèé éîãî ì³íîð òðåòüîãî ïîðÿäêó äîð³âíþº íóëþ,
òîáòî |A 1 | = 0. ²íø³ ìàòðèö³: À 2 , À 3 , À 4 äàþòü àíàëîã³÷í³ ðåçóëüòàòè.
Îòæå, rang À =2.
2.5. ÎÁÅÐÍÅÍÀ ÌÀÒÐÈÖß
Äëÿ êîæíîãî ä³éñíîãî ÷èñëà à ≠ 0 ³ñíóº ÷èñëî à -1 òàêå, ùî
äîáóòîê a⋅a -1 = 1. Äëÿ êâàäðàòíèõ ìàòðèöü òåæ ââîäèòüñÿ
àíàëîã³÷íå ïîíÿòòÿ.
2.5.1. Îçíà÷åííÿ. Òåîðåìà ïðî îáåðíåíó ìàòðèöþ
Ìàòðèöÿ À -1 íàçèâàºòüñÿ îáåðíåíîþ äî ìàòðèö³ À ðîçì³ðó
n×n, ÿêùî äëÿ íå¿ ñïðàâåäëèâà ð³âí³ñòü
À ⋅ À -1 = À -1 ⋅ À = Å. (2.5.1)
Ç îçíà÷åííÿ âèïëèâàº, ùî ò³ëüêè êâàäðàòíà ìàòðèöÿ ìàº
îáåðíåíó; â öüîìó âèïàäêó ³ îáåðíåíà ìàòðèöÿ (ÿêùî âîíà
³ñíóº) ÿâëÿº ñîáîþ êâàäðàòíó ìàòðèöþ òîãî ñàìîãî ïîðÿäêó.
Çàëèøàºòüñÿ òåïåð ëèøå âèÿâèòè óìîâó, ÿêà áè îäíîçíà÷íî
ãàðàíòóâàëà ³ñíóâàííÿ îáåðíåíî¿ ìàòðèö³.
Ò å î ð å ì à 2.5.1 (êðèòåð³é ³ñíóâàííÿ îáåðíåíî¿ ìàòðèö³).
Äëÿ òîãî ùîá äàíà ìàòðèöÿ À ìàëà îáåðíåíó A -1 , íåîáõ³äíî
³ äîñòàòíüî, ùîá âîíà áóëà íåâèðîäæåíîþ ( A ≠ 0 ).
Íåîáõ³äí³ñòü. Íåõàé ìàòðèöÿ À ìຠîáåðíåíó, òîáòî
À ⋅ À -1 = À -1 ⋅À = Å. Çã³äíî ç âëàñòèâ³ñòþ 9 ìàºìî:
Òàêèì ÷èíîì,
⋅ = ⋅ = = 1.
−1 −1
A A A A E
−1
A ≠ 0i A ≠ 0.
Äîñòàòí³ñòü. Íåõàé A ≠ 0 . Ðîçãëÿíåìî êâàäðàòíó
ìàòðèöþ n-ãî ïîðÿäêó, åëåìåíòè ÿêî¿ º àëãåáðà¿÷íèìè äîïîâíåííÿìè
åëåìåíò³â ìàòðèö³ A T , ÿêà òðàíñïîíîâàíà äî À.
Öþ ìàòðèöþ íàçèâàþòü ñîþçíîþ (âçàºìíîþ, ïðèºäíàíîþ) ³
ÿê ïðàâèëî, ïîçíà÷àþòü ÷åðåç ° A .
Ó â³äïîâ³äíîñò³ äî ñòðóêòóðè ìàòðèö³ ° A ìàºìî:
T
a% = A%
= A ( i = 1,2,..., n; j = 1,2,..., n)
.
ij ij ji
Òîä³ åëåìåíòè äîáóòêó ìàòðèöü ° A× A= B âèçíà÷àþòüñÿ
çà ïðàâèëîì ìíîæåííÿ ìàòðèöü (äèâ. ï. 2.3.2):
n
n ìï A , ÿêùî i = j
bij = å a%
isa = å A .
sj
si
× asj
= ï í
s= 1 s=
1 ï
ïî 0, ÿêùî i ¹ j
Òóò â îñòàííüîìó ëàíöþæêó ð³âíîñòåé ìè çàñòîñóâàëè
ôîðìóëó (2.3.4) ³ ïîíÿòòÿ àëãåáðà¿÷íîãî äîïîâíåííÿ.
Îñê³ëüêè ìàòðèöÿ B º ä³àãîíàëüíîþ, òî åëåìåíòè ¿¿ ãîëîâíî¿
ä³àãîíàë³ äîð³âíþþòü âèçíà÷íèêó âèõ³äíî¿ ìàòðèö³.
Îòæå, ìàòðèöþ B ìîæíà çîáðàçèòè ó âèãëÿä³:
æ ö A 0 ... 0
0 A ... 0
B = ... ... ... ...
.
è
ç 0 0 ... A
ø÷
Àíàëîã³÷íî äîâîäèòüñÿ, ùî äîáóòîê A íà ° A äîð³âíþº ò³é
ñàì³é ìàòðèö³ B. Îòæå, ìàòðèö³ A ³ ° A êîìóòàòèâí³, ³ ¿õ
äîáóòîê äîð³âíþº ìàòðèö³ B, òîáòî A× ° A= ° A× A=
B , çâ³äêè
âèïëèâàº, ùî ìàòðèöÿ
A
- = × ° A
A
1 1
º øóêàíîþ îáåðíåíîþ ìàòðèöåþ.
Ìîæíà òàêîæ ïîêàçàòè, ùî âîíà ºäèíà.
Áåçïîñåðåäíüîþ ïåðåâ³ðêîþ âñòàíîâëþºìî ñïðàâåäëèâ³ñòü
ôîðìóëè 2.5.1. Òåîðåìó äîâåäåíî.
2.5.2. Àëãîðèòì îá÷èñëåííÿ îáåðíåíî¿ ìàòðèö³
Äîâåäåííÿ òåîðåìè 2.5.1 êîíñòðóêòèâíå, ùî äîçâîëÿº
âñòàíîâèòè àëãîðèòì îá÷èñëåííÿ îáåðíåíî¿ ìàòðèö³. Ùîá
çíàéòè îáåðíåíó ìàòðèöþ A -1 ( A ¹ 0) , ïîòð³áíî:
1 0 . Çíàéòè âèçíà÷íèê äàíî¿ ìàòðèö³ A.
2 0 . Çíàéòè ìàòðèöþ A T , ÿêà òðàíñïîíîâàíà äî ìàòðèö³ A.
62 63