ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Äâ³ ìàòðèö³ À ³  íàçèâàþòüñÿ åêâ³âàëåíòíèìè, ÿêùî
â³ä êîæíî¿ ç íèõ ìîæíà ïåðåéòè äî ³íøî¿ çà äîïîìîãîþ
ñê³í÷åííîãî ÷èñëà åëåìåíòàðíèõ ïåðåòâîðåíü.
Ïðèêëàä 2.4.2. Çíàéòè ðàíã ìàòðèö³
⎛0 2 − 4⎞
⎜
⎟
⎜
−1 −4 5
⎟
A = ⎜3 1 7⎟
⎜ ⎟
0 5 −10
.
⎜
⎟
⎜2 3 0⎟
⎝
⎠
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ïîì³íÿâøè ì³ñöÿìè ïåðøèé ³ äðóãèé
ñòîâïö³, à ïîò³ì ïîìíîæóþ÷è ïåðøèé ðÿäîê íà 1/2, îòðèìà-
ºìî:
⎛ 1 0 − 2⎞
⎜ ⎟
⎜
−4 −1 5
⎟
⎜ 1 3 7⎟
⎜ ⎟
5 0 −10
.
⎜ ⎟
⎜ 3 2 0⎟
⎝ ⎠
Îòðèìàíó ìàòðèöþ ïåðåòâîðèìî øëÿõîì äîäàâàííÿ äî
òðåòüîãî ñòîâïöÿ ïîäâîºíîãî ïåðøîãî ñòîâïöÿ. Ïîò³ì, ï³ñëÿ
àíàëîã³÷íèõ ïåðåòâîðåíü ³íøèõ ðÿäê³â, îäåðæèìî:
⎛1 0 0⎞
⎜ ⎟
⎜
1 −1 −3
⎟
⎜0 3 9⎟
⎜ ⎟
0 0 0
.
⎜ ⎟
⎜0 2 6⎟
⎝ ⎠
Íàðåøò³, î÷åâèäíèì åëåìåíòàðíèì ïåðåòâîðåííÿì ïåðåéäåìî
äî ìàòðèö³:
⎛100⎞
⎜ ⎟
⎜
010
⎟
⎜000⎟
⎜ ⎟
000
, ðàíã ÿêî¿ äîð³âíþº äâîì.
⎜ ⎟
⎜000⎟
⎝ ⎠
³äì³ííèé â³ä íóëÿ ì³íîð íàéâèùîãî ïîðÿäêó íàçèâàºòüñÿ
áàçèñíèì. Éîãî ñòîâïö³ (ðÿäêè), ÿêùî ðîçãëÿäàòè ¿õ ÿê
âåêòîðè, ë³í³éíî íåçàëåæí³.
Äëÿ âèçíà÷åííÿ ðàíãó ìàòðèö³ âèêîðèñòîâóºòüñÿ òàêîæ
ìåòîä îáâ³äíèõ ì³íîð³â (ÿê³ ì³ñòÿòü ó ñîá³), çàñíîâàíèé íà
íàñòóïí³é òåîðåì³. Ïîäàìî ¿¿ áåç äîâåäåííÿ.
Òåîðåìà 2.4.1. ßêùî ó ìàòðèö³ À ³ñíóº ì³íîð r-ãî
ïîðÿäêó, ÿêèé íå äîð³âíþº íóëþ, à âñ³ ì³íîðè (r+1)-ãî ïîðÿäêó,
ÿê³ îáâîäÿòü éîãî, äîð³âíþþòü íóëþ, òîä³ r º ðàíã ö³º¿
ìàòðèö³.
Ïðèêëàä 2.4.3. Âèçíà÷èòè ðàíã ìàòðèö³
⎛1 − 2 1 3⎞
⎜
⎟
A = 1 3 −1 1
.
⎜3 4 −1 5⎟
⎝
⎠
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çàïèøåìî ìàòðèö³ òðåòüîãî ïîðÿäêó
⎛1 −2 1⎞ ⎛1 −2 3⎞ ⎛−2 1 3⎞ ⎛1 1 3⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A1 = 1 3 − 1 , A2 = 1 3 1 , A3 = 3 − 1 1 , A4
= 1 −1 1
.
⎜3 4 −1⎟ ⎜3 4 5⎟ ⎜ 4 −1 5⎟ ⎜3 −1 5⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
̳íîð ïåðøîãî ïîðÿäêó, ðîçòàøîâàíèé ó âåðõíüîìó êóò³
ìàòðèö³ À 1 , íå äîð³âíþº íóëþ (Ì 11 = 1). Îáâ³äíèé éîãî ì³íîð
äðóãîãî ïîðÿäêó
1 − 2 = 5 ≠ 0
1 3
.
60 61