ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

a a ... a a ... a
a a ... a a ... a
... ... ... ... ... ... ...
M = a a ... a a ... a
a a ... a a ... a
... ... ... ... ... ... ...
a a ... a a ... a
11 12 1 j− 1 1 j+
1 1n
21 22 2 j− 1 2 j+
1 2n
ij i−11 i−12 i−1 j−1 i− 1 j+ 1 i−1n
i+ 11 i+ 12 i+ 1 j− 1 i+ 1j+
1 i+
1n
n1 n2 nj− 1 nj+
1 nn
. (2.3.3)
̳íîðîì ìàòðèö³ ïåðøîãî ïîðÿäêó À =(à 11 ) ïðèéíÿòî
ââàæàòè åëåìåíò à 11 , òîáòî Ì 11 = à 11 .
⎛a11 a12
⎞
Äëÿ ìàòðèö³ äðóãîãî ïîðÿäêó A = ⎜ ⎟ ìàºìî ÷îòèðè
⎝a21 a22
⎠
ì³íîðè ïåðøîãî ïîðÿäêó: Ì 11 = à 22 , Ì 12 = à 21 , Ì 21 = à 12 ,
Ì 22 = à 11 .
Âèçíà÷íèê ïîðÿäêó n, äå n > 1, º ÷èñëî, ùî îá÷èñëþºòüñÿ
çà ôîðìóëîþ
n
n
i+
j
A
det A ( 1) aijMij aijAij
j= 1 j=
1
∆ = = ∑ − = ∑ . (2.3.4)
Òóò ÷èñëî A ij = (-1) i+j M ij íàçèâàºòüñÿ àëãåáðà¿÷íèì äîïîâíåííÿì
åëåìåíòà a ij .
Ó ôîðìóë³ (2.3.4) ³íäåêñ i ìîæå ïðèéìàòè áóäü-ÿêå çíà-
÷åííÿ â³ä 1 äî n. Êð³ì öüîãî, ³íäåêñè i òà j ìîæíà ïîì³íÿòè
ì³ñöÿìè. Ïðè öüîìó çíà÷åííÿ âèçíà÷íèêà íå çì³íèòüñÿ.
 ïåðøîìó âèïàäêó çà ôîðìóëîþ (2.3.4) âèçíà÷íèê îá-
÷èñëþºòüñÿ çà åëåìåíòàìè áóäü-ÿêîãî ðÿäêà, â äðóãîìó —
çà åëåìåíòàìè áóäü-ÿêîãî ñòîâïöÿ.
Ôîðìóëà (2.3.4) º çì³ñòîâíîþ â ³íäóêòèâíîìó ñåíñ³, òîáòî
ðîçêðèòòÿ (îá÷èñëåííÿ) âèçíà÷íèê³â á³ëüø âèñîêîãî ïîðÿäêó
çä³éñíþºòüñÿ ïîñë³äîâíî ÷åðåç âèçíà÷íèêè á³ëüø íèçüêîãî
ïîðÿäêó. Íàïðèêëàä,
⎛a
a ⎞
det ⎜ = ( − 1) + ( − 1) = −
⎝a
⎠
11 12 1+ 1 1+
2
⎟ a11M11 a12M12 a11a22 a12a21
21
a22
.
Âèçíà÷íèê äðóãîãî ïîðÿäêó äîð³âíþº ð³çíèö³ äîáóòê³â
åëåìåíò³â, ùî ðîçòàøîâàí³ íà ãîëîâí³é ³ ïîá³÷í³é ä³àãîíàëÿõ.
Ðîçãëÿíåìî òåïåð âèçíà÷íèê òðåòüîãî ïîðÿäêó
⎛a11 a12 a13
⎞
⎜ ⎟ 1+ 1 1+ 2 1+
3
det a21 a22 a23 = ( − 1) a11M11 + ( − 1) a12M12 + ( − 1) a13M13
=
⎜a31 a32 a ⎟
⎝
33 ⎠
a a a a a a
= a − a + a = a a
22 23 21 23 21 22
11 12 13
a
32 a
33 a
31 a
33
31 32
= a ( a a −a a ) −a ( a a − a a ) + a ( a a − a a ) =
11 22 33 23 32 12 21 33 31 23 13 21 32 31 22
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 −a13a22a31 −a11a23a32 − a12a21a33
.
Îòðèìàíà ôîðìóëà äîçâîëÿº âñòàíîâèòè äâà ïðîñòèõ
ïðàâèëà éîãî îá÷èñëåííÿ. Ïåðøå — ïðàâèëî òðèêóòíèê³â,
ùî âêàçóº, ÿê³ òðè åëåìåíòè ïåðåìíîæóþòüñÿ ³ ÿêèé çíàê
¿ì ïðèïèñóºòüñÿ
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
• • • = • • • + • • • + • • • − • • • − • • • − • • •
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
³ ïðàâèëî ïðèïèñóâàííÿ ñòîâïö³â:
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a
a
a
a
a
a
11 12
21 22
31 32
Òàêèì ÷èíîì, äëÿ áåçïîñåðåäíüîãî îá÷èñëåííÿ âèçíà÷íèêà
òðåòüîãî ïîðÿäêó ìîæíà âèêîðèñòîâóâàòè òðè ïðàâèëà:
òðèêóòíèê³â, ïðèïèñóâàííÿ ñòîâïö³â ³ ðîçêëàäàííÿ ïî åëåìåíòàõ
áóäü-ÿêîãî ñòîâïöÿ àáî ðÿäêà.
Äëÿ áåçïîñåðåäíüîãî ðîçêðèòòÿ âèçíà÷íèêà á³ëüø âèñîêîãî
ïîðÿäêó º ëèøå îäíå ïðàâèëî — ðîçêëàäàííÿ çà åëåìåíòàìè
áóäü-ÿêîãî ñòîâïöÿ àáî ðÿäêà.
.
52 53