You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
a a ... a a ... a<br />
a a ... a a ... a<br />
... ... ... ... ... ... ...<br />
M = a a ... a a ... a<br />
a a ... a a ... a<br />
... ... ... ... ... ... ...<br />
a a ... a a ... a<br />
11 12 1 j− 1 1 j+<br />
1 1n<br />
21 22 2 j− 1 2 j+<br />
1 2n<br />
ij i−11 i−12 i−1 j−1 i− 1 j+ 1 i−1n<br />
i+ 11 i+ 12 i+ 1 j− 1 i+ 1j+<br />
1 i+<br />
1n<br />
n1 n2 nj− 1 nj+<br />
1 nn<br />
. (2.3.3)<br />
̳íîðîì ìàòðèö³ ïåðøîãî ïîðÿäêó À =(à 11 ) ïðèéíÿòî<br />
ââàæàòè åëåìåíò à 11 , òîáòî Ì 11 = à 11 .<br />
⎛a11 a12<br />
⎞<br />
Äëÿ ìàòðèö³ äðóãîãî ïîðÿäêó A = ⎜ ⎟ ìàºìî ÷îòèðè<br />
⎝a21 a22<br />
⎠<br />
ì³íîðè ïåðøîãî ïîðÿäêó: Ì 11 = à 22 , Ì 12 = à 21 , Ì 21 = à 12 ,<br />
Ì 22 = à 11 .<br />
Âèçíà÷íèê ïîðÿäêó n, äå n > 1, º ÷èñëî, ùî îá÷èñëþºòüñÿ<br />
çà ôîðìóëîþ<br />
n<br />
n<br />
i+<br />
j<br />
A<br />
det A ( 1) aijMij aijAij<br />
j= 1 j=<br />
1<br />
∆ = = ∑ − = ∑ . (2.3.4)<br />
Òóò ÷èñëî A ij = (-1) i+j M ij íàçèâàºòüñÿ àëãåáðà¿÷íèì äîïîâíåííÿì<br />
åëåìåíòà a ij .<br />
Ó ôîðìóë³ (2.3.4) ³íäåêñ i ìîæå ïðèéìàòè áóäü-ÿêå çíà-<br />
÷åííÿ â³ä 1 äî n. Êð³ì öüîãî, ³íäåêñè i òà j ìîæíà ïîì³íÿòè<br />
ì³ñöÿìè. Ïðè öüîìó çíà÷åííÿ âèçíà÷íèêà íå çì³íèòüñÿ.<br />
 ïåðøîìó âèïàäêó çà ôîðìóëîþ (2.3.4) âèçíà÷íèê îá-<br />
÷èñëþºòüñÿ çà åëåìåíòàìè áóäü-ÿêîãî ðÿäêà, â äðóãîìó —<br />
çà åëåìåíòàìè áóäü-ÿêîãî ñòîâïöÿ.<br />
Ôîðìóëà (2.3.4) º çì³ñòîâíîþ â ³íäóêòèâíîìó ñåíñ³, òîáòî<br />
ðîçêðèòòÿ (îá÷èñëåííÿ) âèçíà÷íèê³â á³ëüø âèñîêîãî ïîðÿäêó<br />
çä³éñíþºòüñÿ ïîñë³äîâíî ÷åðåç âèçíà÷íèêè á³ëüø íèçüêîãî<br />
ïîðÿäêó. Íàïðèêëàä,<br />
⎛a<br />
a ⎞<br />
det ⎜ = ( − 1) + ( − 1) = −<br />
⎝a<br />
⎠<br />
11 12 1+ 1 1+<br />
2<br />
⎟ a11M11 a12M12 a11a22 a12a21<br />
21<br />
a22<br />
.<br />
Âèçíà÷íèê äðóãîãî ïîðÿäêó äîð³âíþº ð³çíèö³ äîáóòê³â<br />
åëåìåíò³â, ùî ðîçòàøîâàí³ íà ãîëîâí³é ³ ïîá³÷í³é ä³àãîíàëÿõ.<br />
Ðîçãëÿíåìî òåïåð âèçíà÷íèê òðåòüîãî ïîðÿäêó<br />
⎛a11 a12 a13<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ 1+ 1 1+ 2 1+<br />
3<br />
det a21 a22 a23 = ( − 1) a11M11 + ( − 1) a12M12 + ( − 1) a13M13<br />
=<br />
⎜a31 a32 a ⎟<br />
⎝<br />
33 ⎠<br />
a a a a a a<br />
= a − a + a = a a<br />
22 23 21 23 21 22<br />
11 12 13<br />
a<br />
32 a<br />
33 a<br />
31 a<br />
33<br />
31 32<br />
= a ( a a −a a ) −a ( a a − a a ) + a ( a a − a a ) =<br />
11 22 33 23 32 12 21 33 31 23 13 21 32 31 22<br />
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 −a13a22a31 −a11a23a32 − a12a21a33<br />
.<br />
Îòðèìàíà ôîðìóëà äîçâîëÿº âñòàíîâèòè äâà ïðîñòèõ<br />
ïðàâèëà éîãî îá÷èñëåííÿ. Ïåðøå — ïðàâèëî òðèêóòíèê³â,<br />
ùî âêàçóº, ÿê³ òðè åëåìåíòè ïåðåìíîæóþòüñÿ ³ ÿêèé çíàê<br />
¿ì ïðèïèñóºòüñÿ<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
• • • = • • • + • • • + • • • − • • • − • • • − • • •<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
³ ïðàâèëî ïðèïèñóâàííÿ ñòîâïö³â:<br />
a a a<br />
a a a<br />
a a a<br />
11 12 13<br />
21 22 23<br />
31 32 33<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
11 12<br />
21 22<br />
31 32<br />
Òàêèì ÷èíîì, äëÿ áåçïîñåðåäíüîãî îá÷èñëåííÿ âèçíà÷íèêà<br />
òðåòüîãî ïîðÿäêó ìîæíà âèêîðèñòîâóâàòè òðè ïðàâèëà:<br />
òðèêóòíèê³â, ïðèïèñóâàííÿ ñòîâïö³â ³ ðîçêëàäàííÿ ïî åëåìåíòàõ<br />
áóäü-ÿêîãî ñòîâïöÿ àáî ðÿäêà.<br />
Äëÿ áåçïîñåðåäíüîãî ðîçêðèòòÿ âèçíà÷íèêà á³ëüø âèñîêîãî<br />
ïîðÿäêó º ëèøå îäíå ïðàâèëî — ðîçêëàäàííÿ çà åëåìåíòàìè<br />
áóäü-ÿêîãî ñòîâïöÿ àáî ðÿäêà.<br />
.<br />
52 53