ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

14.3.
14.5.
α+ 1
α x
∫ xdx= + C , α≠−1. 14.4.
α+
∫ cos xdx = sin x + C .
1
∫
= ∫ dx = ln +
x
−1
x dx x C
x
x a
x x
14.7. ∫adx= + C;
∫edx= e + C.
ln a
14.8.
2
∫ cosec xdx =− ctgx + C .
dx 1 x
14.9. ∫ 2 2 = arctg + C .
x + a a a
dx 1 x − a
14.10. ∫ =
2 2 ln + C .
x − a 2a x+
a
2
. 14.6. ∫sec
xdx = tg x + C .
ìåòîä ï³äñòàíîâêè —
( ) = ( ) ( = const)
∫af x dx a∫ f x dx a ;
() = ( ϕ( )) ϕ ′( ) ( = ϕ( ))
∫f t dt ∫ f x x dx t x ;
³íòåãðóâàííÿ ÷àñòèíàìè —
( ) ( ) ( ) ′( ) ( ) ( ) ( ) ′( )
∫uxdvx = ∫uxv xdx= uxvx− ∫vxu xdx=
( ) ( ) vxdux ( ) ( )
= uxvx−∫ .
14.4.8. Âèçíà÷åíèé ³íòåãðàë ³ éîãî âëàñòèâîñò³:
b
b
∫ f( x) dx = ( x) = ( b) − ( a) , ′
( x) = f( x)
;
a
a
b
a
β
( ) = ( ϕ( )) ϕ ′() ( = ϕ() , ϕ( α ) = , ϕ()
β = )
∫f x dx ∫ f t t dt x t a b ;
α
14.11.
∫
dx
2 2
x ± a
2 2
= + ± +
ln x x a C .
b
b b
∫uxdvx ( ) ( ) = uxvx ( ) ( ) −∫ vxdux ( ) ( );
a
a a
dx
14.12. ∫
2 2
a − x
x
= arcsin + C
a
.
dx ⎛ x π ⎞
dx x
14.13. ∫ = ln tg⎜ + ⎟ + C . 14.14. ∫ = ln tg + C .
cos x ⎝2 4 ⎠
sin x 2
14.4.7. Îñíîâí³ âëàñòèâîñò³ ³ ïðàâèëà ³íòåãðóâàííÿ:
′
∫ ∫ ;
( f( x)
dx) = f( x) ; f′
( x) dx = f( x) + C ( C = const)
b a a
( ) ( ) ( ) ( )
∫f x dx =− ∫f x dx a < b ; ∫ f x dx = 0;
a b a
b b b
( ) ± ( ) ⎤ = ( ) ± ( )
∫⎡⎣f x g x ⎦ dx ∫f x dx ∫g x dx;
a a a
b
a
b
( ) = ( ) ( = )
∫kf x dx k∫ f x dx k const ;
b c b
( ) = ( ) + ( )
a a c
a
∫f x dx ∫f x dx ∫ f x dx , a < c < b.
( ) ± ( ) ⎤ = ( ) ± ( )
∫⎡⎣f x g x ⎦ dx ∫f x dx ∫g x dx;
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