ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Âèðàç âèäó
a+bi=z,
äå à — ä³éñíå ÷èñëî, bi — óÿâíå ÷èñëî, íàçèâàºòüñÿ êîìïëåêñíèì
÷èñëîì.
ijéñíà òà óÿâíà ÷àñòèíè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà â³äïîâ³äíî
ïîçíà÷àþòüñÿ a = Re z, b =Imz ³ z=Re z+Im z ⋅ i.
Êîìïëåêñíå ÷èñëî äîð³âíþº íóëþ, ÿêùî ä³éñíà ÷àñòèíà ³
êîåô³ö³ºíò ïðè óÿâí³é îäèíèö³ äîð³âíþþòü íóëþ.
Äâà êîìïëåêñíèõ ÷èñëà z 1 = a 1 + b 1 i ³ z 2 = a 2 + b 2 i
ââàæàþòüñÿ ð³âíèìè ì³æ ñîáîþ òîä³ ³ ò³ëüêè òîä³, êîëè
ð³âí³ ¿õ ä³éñí³ ÷àñòèíè ³ êîåô³ö³ºíòè ïðè óÿâí³é îäèíèö³.
Ïîíÿòòÿ “á³ëüøå” ³ “ìåíøå” äëÿ êîìïëåêñíèõ ÷èñåë íå
ìàþòü ñìèñëó.
Çàïèñ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà ó âèãëÿä³
z=a+bi
íàçèâàºòüñÿ àëãåáðà¿÷íîþ ôîðìîþ çàïèñó êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.
13.1.2. Çîáðàæåííÿ êîìïëåêñíèõ ÷èñåë
Ãåîìåòðè÷íî êîìïëåêñíå ÷èñëî z = a + bi ìຠâèãëÿä
òî÷êè íà ïëîùèí³ ç êîîðäèíàòàìè (a, b). Îòæå, êîìïëåêñíå
÷èñëî a + bi º ïàðà äâîõ óïîðÿäêîâàíèõ ÷èñåë (a, b).
Ïëîùèíà (õ, ó), íà ÿê³é çîáðàæóþòüñÿ êîìïëåêñí³ ÷èñëà,
íàçèâàºòüñÿ êîìïëåêñíîþ ïëîùèíîþ (ðèñ. 13.1). Ïðè öüîìó
â³ñü Ox íàçèâàºòüñÿ ä³éñíîþ â³ññþ, à â³ñü Oy — óÿâíîþ.
ßêùî ââåñòè ðàä³óñ-âåêòîð r òî÷êè z = (a, b) êîìïëåêñíî¿
ïëîùèíè, òî êîìïëåêñíå ÷èñëî ìîæíà çîáðàçèòè ðàä³óñâåêòîðîì
r . Ïîçíà÷èìî ÷åðåç r = r , òîä³ (ðèñ. 13.1) a= r
cos ϕ ³ b = r sin ϕ.
Îòæå, êîìïëåêñíå ÷èñëî z = a + bi ìîæíà çàïèñàòè ó
âèãëÿä³
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Ðèñ. 13.1
Òàêèé çàïèñ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà íàçèâàºòüñÿ òðèãîíîìåòðè÷íîþ
ôîðìîþ çàïèñó êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.
Äîâæèíà âåêòîðà r
2 2
r = r = a + b
íàçèâàºòüñÿ ìîäóëåì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z ³ ïîçíà÷àºòüñÿ
2 2
z = a + b . (13.1.1)
ßêùî b=0, òî z=a — ä³éñíå ÷èñëî.
Êóò ϕ íàçèâàºòüñÿ àðãóìåíòîì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Äëÿ
áóäü-ÿêîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà àðãóìåíò (Arg) âèçíà÷àºòüñÿ
ç òî÷í³ñòþ äî äîäàíêà, êðàòíîãî 2π, â³äíîñíî ãîëîâíîãî çíà-
÷åííÿ arg z:
Arg z = arg z + 2πk, k = 0, ±1, ±2,… (0 ≤ arg z