Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
àáî<br />
1<br />
( ) ( ) 1 n<br />
1 1 1 n−<br />
1 n t<br />
K<br />
2 3 4 n<br />
01+<br />
= 1− + − + + − 1 + −1<br />
∫<br />
dt<br />
t<br />
( ) 1 n<br />
n t<br />
ln 2 − Sn<br />
= −1<br />
∫ dt , (12.5.17)<br />
0 1+<br />
t<br />
äå S n — ÷àñòèííà ñóìà ïåðøèõ n äîäàíê³â ðÿäó.<br />
Íåâàæêî ïîáà÷èòè, ùî<br />
1 n 1 n 1<br />
n+<br />
1<br />
n t t n t 1 1<br />
− 1 ∫ dt = ∫ dt < ∫t dt = = →0<br />
ïðè n →∞<br />
01+ t 01+ t 0 n+ 1 0 n+<br />
1<br />
,<br />
( )<br />
òîáòî ³íòåãðàë â ïðàâ³é ÷àñòè (12.4.17) ïðÿìóº äî íóëÿ ïðè<br />
n →∞ ³, îòæå, lim Sn<br />
= ln 2 . Öå îçíà÷ຠñïðàâåäëèâ³ñòü ð³âíîñò³<br />
n→∞<br />
(12.5.16).<br />
Çíàéäåìî òåïåð ðîçêëàäàííÿ ôóíêö³¿ arctg x. ϳäñòàâëÿþ÷è<br />
äî (12.5.13) –t 2 çàì³ñòü x ³ ³íòåãðóþ÷è ïî t â³ä 0 äî x,<br />
îòðèìàºìî<br />
3 5 7 2n+<br />
1<br />
x x x n x<br />
arctgx= x− + − + K+ ( − 1)<br />
+ K (12.5.18)<br />
3 5 7 2n<br />
+ 1<br />
гâí³ñòü (12.5.18) ñïðàâåäëèâà ïðè x < 1 . Îäíàê àíàëîã³÷íî<br />
ïîïåðåäíüîìó ìîæíà ïîêàçàòè, ùî âîíà ñïðàâåäëèâà ³<br />
äëÿ x = ±1.<br />
12.6. ÇÀÑÒÎÑÓÂÀÍÍß ÐßIJÂ<br />
×èñëîâ³ ³ ôóíêö³îíàëüí³ ðÿäè øèðîêî âèêîðèñòîâóþòüñÿ<br />
äëÿ îá÷èñëåííÿ ôóíêö³é, ³íòåãðàë³â, ùî íå âèðàæàþòüñÿ â<br />
åëåìåíòàðíèõ ôóíêö³ÿõ, ïðè ðîçâ’ÿçàíí³ àëãåáðà¿÷íèõ, äèôåðåíö³àëüíèõ<br />
ð³âíÿíü.<br />
Äëÿ îá÷èñëåííÿ ôóíêö³é âèêîðèñòîâóþòüñÿ çâè÷àéíî<br />
ñòåïåíåâ³ ðÿäè. Ôóíêö³ÿ ðîçêëàäàºòüñÿ äî ðÿäó Òåéëîðà â<br />
îêîë³ ò³º¿ òî÷êè, â ÿê³é ïîòð³áíî âèçíà÷èòè çíà÷åííÿ ôóíêö³¿.<br />
Äàºòüñÿ îö³íêà çàëèøêó ðÿäó ³ îá÷èñëþºòüñÿ çíà÷åííÿ<br />
ôóíêö³¿ ç çàäàíèì ñòåïåíºì òî÷íîñò³. Àíàëîã³÷íî ä³þòü<br />
ïðè îá÷èñëåíí³ ³íòåãðàëà, ç òîþ ëèøå ð³çíèöåþ, ùî ó ñòåïå-<br />
íåâèé ðÿä ðîçêëàäàºòüñÿ ï³ä³íòåãðàëüíà ôóíêö³ÿ. Âèçíà÷àþòüñÿ<br />
óìîâè ³íòåãðîâíîñò³ öüîãî ðÿäó, à òàêîæ îö³íþºòüñÿ<br />
çàëèøîê ðÿäó, îòðèìàíîãî ï³ñëÿ ³íòåãðóâàííÿ.<br />
12.6.1. Çàñòîñóâàííÿ ðÿä³â äëÿ îá÷èñëåííÿ âèçíà÷åíèõ<br />
³íòåãðàë³â<br />
a<br />
sin x<br />
Ïðèêëàä 12.6.1. Îá÷èñëèòè ³íòåãðàë ∫ dx .<br />
0 x<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Îá÷èñëèòè öåé ³íòåãðàë çà äîïîìîãîþ<br />
ôîðìóëè Íüþòîíà – Ëåéáí³öà íåìîæëèâî, îñê³ëüêè ïåðâ³ñíà<br />
ôóíêö³¿ sin x íå º åëåìåíòàðíîþ. Ðàçîì ç òèì öÿ ïåðâ³ñíà<br />
x<br />
ëåãêî âèðàæàºòüñÿ ó âèãëÿä³ ñòåïåíåâîãî ðÿäó.<br />
3 5 7<br />
x x x<br />
ijéñíî, îñê³ëüêè sin x = x− + − +K , òî, ïîìíîæóþ÷è<br />
3! 5! 7!<br />
öåé ðÿä íà 1 x , îòðèìàºìî 2 4 6<br />
sin x x x x<br />
= 1− + − +K ,<br />
x 3! 5! 7!<br />
ïðè÷îìó öåé ðÿä çá³ãàºòüñÿ ïðè áóäü-ÿêîìó x. ²íòåãðóþ÷è<br />
éîãî ïî÷ëåííî â³ä 0 äî a, ìàºìî<br />
a 3 5 7<br />
sin<br />
∫ x dx = a − a + a − a + K.<br />
0 x 3!3 5!5 7!7<br />
Çà äîïîìîãîþ ö³º¿ ð³âíîñò³ ìîæíà ïðè áóäü-ÿêîìó a ç<br />
áóäü-ÿêèì ñòåïåíåì òî÷íîñò³ îá÷èñëèòè äàíèé ³íòåãðàë.<br />
12.6.2. Çàñòîñóâàííÿ ðÿä³â äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ äèôåðåíö³àëüíèõ<br />
ð³âíÿíü<br />
Çíà÷íó ðîëü ãðàþòü ñòåïåíåâ³ ðÿäè â íàáëèæåíèõ ìåòîäàõ<br />
ðîçâ’ÿçàííÿ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü.<br />
²íòåãðàë äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ íå çàâæäè ìîæíà<br />
âèðàçèòè â åëåìåíòàðíèõ ôóíêö³ÿõ àáî çà äîïîìîãîþ ñê³í-<br />
÷åííîãî ÷èñëà êâàäðàòóð (³íòåãðàë³â).  á³ëüøîñò³ âèïàäê³â<br />
êîæíå äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ ÿâëÿº ñîáîþ îñîáëèâó ôóí-<br />
474 475
Change language