ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

ÂÏÐÀÂÈ
Âèçíà÷èòè ³íòåðâàë çá³æíîñò³ ñòåïåíåâèõ ðÿä³â:
12.27.
12.29.
n
∞ ( −x
∞
n
)
∑ ; 12.28. 2 !
1
1 3
n−
( )
n=
n=
1 2 n !
x
n x
2n
∑ ;
∞ ( x + 8) 3n
∞
∑ ; 12.30. 2 n
10 ( 2x
3) 2n
−
−
1
n=
1
∞
n
2
∑ ;
n=
1
2
12.31. ( 2) n n
∑ − x ; 12.32. ∑ ( −1)
n=
0
∞
n=
1
n−1
12.5.4. Âëàñòèâîñò³ ñòåïåíåâèõ ðÿä³â
Íåõàé ôóíêö³ÿ f(x) º ñóìîþ ñòåïåíåâîãî ðÿäó
( )
2
n
=
0
+
1
+
2
+ +
n
+
( ) 2 n−
x − 4
1
2n
−1
f x a a x a x K a x K, (12.5.7)
³íòåðâàë çá³æíîñò³ ÿêîãî (–R, R).
Ó öüîìó âèïàäêó êàæóòü, ùî íà ³íòåðâàë³ (–R, R) ôóíêö³ÿ
f(x) ðîçêëàäàºòüñÿ â ñòåïåíåâèé ðÿä (àáî â ðÿä çà ñòåïåíÿìè
x) ³ ìàþòü ì³ñöå òàê³ äâ³ âëàñòèâîñò³. Íàâåäåìî ¿õ
áåç äîâåäåííÿ:
1) ÿêùî ôóíêö³ÿ f(x) íà ³íòåðâàë³ (–R, R) ðîçêëàäàºòüñÿ
â ñòåïåíåâèé ðÿä (12.5.7), òî ìîæóòü áóòè âèçíà÷åí³ ¿¿ ïîõ³äí³
áóäü-ÿêîãî ïîðÿäêó íà öüîìó æ ³íòåðâàë³. Ïðè öüîìó
â³äïîâ³äí³ ðÿäè ìàþòü òîé ñàìèé ³íòåðâàë çá³æíîñò³, ùî ³
ðÿä (12.5.7) Íàïðèêëàä,
′
2
n
f′ x = a + a x+ a x + K+ a x + K =
( ) ( 0 1 2
n )
= a + 2a x+ 3a x + K+ na x − + K;
2 n 1
1 2 3
n
2) ÿêùî ôóíêö³ÿ f(x) íà ³íòåðâàë³ (–R, R) ðîçêëàäàºòüñÿ
â ñòåïåíåâèé ðÿä (12.5.7), òî âîíà ³íòåãðîâíà â ³íòåðâàë³
(–R, R) é ³íòåãðàë â³ä íå¿ ìîæå áóòè îá÷èñëåíèé ïî÷ëåííèì
³íòåãðóâàííÿì ðÿäó (12.5.7), òîáòî ÿêùî x 1 , x 2 ∈(–R, R),
òî
.
x2 2
x
2
n
( ) ( 0 1 2
n )
∫ f x dx= ∫ a + ax+ ax + K+ a x + K dx=
x1 x1
x2 x2 x2 x2
2
n
∫ a0dx ∫ a1xdx ∫ a2x dx ∫ an
x dx
x1 x1 x1 x1
+ + + K+ + K.
Ñòàíîâèòü ³íòåðåñ ³íòåãðóâàííÿ ñòåïåíåâîãî ðÿäó (12.5.7)
íà ñåãìåíò³ [0, x], äå |x|