ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Çàóâàæåííÿ. Ðÿäè ç â³ä’ºìíèìè ÷ëåíàìè â³äð³çíÿþòüñÿ
â³ä â³äïîâ³äíèõ ðÿä³â ç äîäàòíèìè ÷ëåíàìè ò³ëüêè ìíîæíèêîì
–1. Òîìó ïèòàííÿ ïðî ¿õ çá³æí³ñòü ðîçâ’ÿçóºòüñÿ
àíàëîã³÷íî.
12.3. ÇÍÀÊÎÏÅÐÅ̲ÆͲ ÐßÄÈ
Ðîçãëÿíåìî çíàêîïåðåì³æíèé ðÿä
n-1 ∞ n-1
a1 − a2 + a3 − a4
+ ... + ( − 1 ) an
+ ... = ∑ ( −1)
a
n , (12.3.1)
n=
1
äå a n > 0, n ∈ N. Îòæå, äëÿ çðó÷íîñò³ ïðèéìàºòüñÿ, ùî ïåðøèé
÷ëåí ðÿäó ìຠçíàê ïëþñ.
Äëÿ çíàêîïåðåì³æíèõ ðÿä³â ìຠì³ñöå òàêà, äóæå ïðîñòà
äîñòàòíÿ îçíàêà çá³æíîñò³.
Òåîðåìà 12.3.1 (îçíàêà Ëåéáí³öà). Çíàêîïåðåì³æíèé
ðÿä (12.3.1) çá³ãàºòüñÿ, ÿêùî éîãî ÷ëåíè ñïàäàþòü çà àáñîëþòíèì
çíà÷åííÿì, ïðÿìóþ÷è äî íóëÿ, òîáòî a 1 > a 2 > a 3 > ...
³ lim a n
= 0 .
n→∞
Äîâåäåííÿ. Íåõàé çàäàíî ðÿä (12.3.1), ïðè öüîìó
a n > a n+1 ³ a n → 0 ïðè n →∞.
Ðîçãëÿíåìî ÷àñòèííó ñóìó ðÿäó ç ïàðíèì ÷èñëîì ÷ëåí³â
( ) ( ) ( )
S = a − a + a − a + ... + a − a = a − a + a − a + ... + a −a .
2n 1 2 3 4 2n-1 2n 1 2 3 4 2n-1 2n
Óñ³ ð³çíèö³ â äóæêàõ çà óìîâîþ òåîðåìè äîäàòí³, òîìó
ïîñë³äîâí³ñòü ÷àñòèííèõ ñóì {S 2n } º çðîñòàþ÷îþ. Ïîêàæåìî,
ùî âîíà º îáìåæåíîþ. Äëÿ öüîãî çîáðàçèìî S 2n ó âèãëÿä³:
( ) ( ) ... ( )
S2 = a1 −⎡⎣
a2 − a3 + a4 − a5 + + a2 -2
− a2 -1
+ a
2
⎤
n n n n ⎦.
Çâ³äñè âèïëèâàº, ùî S 2n < a 1 äëÿ áóäü-ÿêîãî n, òîáòî ïîñë³äîâí³ñòü
{S 2n } — îáìåæåíà.
Òàêèì ÷èíîì, ïîñë³äîâí³ñòü {S 2n } çðîñòàþ÷à ³ îáìåæåíà.
Îòæå, çà òåîðåìîþ 5.2.6 âîíà ìຠãðàíèöþ, òîáòî lim S2n
= S .
n→∞
Ïîêàæåìî, ùî äî ö³º¿ æ ãðàíèö³ S çá³ãàºòüñÿ ³ ïîñë³äîâí³ñòü
÷àñòèííèõ ñóì íåïàðíîãî ÷èñëà ÷ëåí³â ðÿäó {S 2n+1 }.
ijéñíî, S 2n+1 = S 2n + a 2n+1 . Ïåðåõîäÿ÷è â ö³é ð³âíîñò³ äî ãðà-
íèö³ ïðè n →∞ ³ âèêîðèñòîâóþ÷è óìîâó òåîðåìè (a n → 0
ïðè n →∞), îòðèìàºìî
( )
lim S = lim S2 + a2 1
= lim S2 + lim a2 1
= S + 0 = S .
2n + 1
n n+ n n+
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
Òàêèì ÷èíîì, ïîñë³äîâí³ñòü ÷àñòèííèõ ñóì {S n } ðÿäó
(12.3.1) çá³ãàºòüñÿ äî ãðàíèö³ S. Öå ³ îçíà÷àº, ùî ðÿä
(12.3.1) çá³ãàºòüñÿ.
Ïðèêëàä 12.3.2. Ðÿä
1 1 1 n+ 1 1 ∞ n+
1 1
( ) ∑ ( )
n=
1
1− + − + + − 1 + = −1
2 3 4 K n
K
n
çá³ãàºòüñÿ, òîìó ùî â³í çàäîâîëüíÿº âèìîãè îçíàêè Ëåéáí³öà:
1 > > > ... > > ... ³ lim = 0
1 1 1
1
2 3 n
n
. Çàóâàæèìî, ùî öåé ðÿä
→∞ n
â³äð³çíÿºòüñÿ â³ä ãàðìîí³÷íîãî ðÿäó ò³ëüêè çíàêàìè ïàðíèõ
÷ëåí³â.
12.4. ÏÎÍßÒÒß ÏÐÎ ÀÁÑÎËÞÒÍÎ
ÒÀ ÓÌÎÂÍÎ ÇÁ²ÆͲ ÐßÄÈ
Ðîçãëÿíåìî òåïåð ðÿäè, ÷àñòèíà ÷ëåí³â ÿêèõ äîäàòí³, à
÷àñòèíà ÷ëåí³â â³ä’ºìí³ àáî ð³âí³ íóëþ. Ïðè öüîìó ÷åðãóâàííÿ
äîäàòíèõ òà â³ä’ºìíèõ ÷ëåí³â ðÿäó äîâ³ëüíå.  öèõ
âèïàäêàõ ïîïåðåäí³ äîñòàòí³ ïðèçíàêè âæå íå ïðàöþþòü.
ßñíî, ùî âèíèêຠïèòàííÿ ïðî äîñë³äæåííÿ çá³æíîñò³ ðÿä³â
ç âêàçàíèìè îñîáëèâîñòÿìè. Äëÿ âèð³øåííÿ ö³º¿ ïðîáëåìè
ìàòåìàòèêè ââåëè ïîíÿòòÿ àáñîëþòíî¿ çá³æíîñò³. Ïîðó÷ ç
ðÿäîì
ðîçãëÿäàºòüñÿ ðÿä
a1 + a2 + a3 + a4
+ ... + an
+ ... = ∑ an
(12.4.1)
∞
n=
1
∞
a1 + a2 + a3 + a4
+ ... + an
+ ... =∑ a
n , (12.4.2)
n=
1
ÿêèé ñêëàäåíèé ç àáñîëþòíèõ âåëè÷èí éîãî ÷ëåí³â.
460 461