Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Çàóâàæåííÿ. Ðÿäè ç â³ä’ºìíèìè ÷ëåíàìè â³äð³çíÿþòüñÿ<br />
â³ä â³äïîâ³äíèõ ðÿä³â ç äîäàòíèìè ÷ëåíàìè ò³ëüêè ìíîæíèêîì<br />
–1. Òîìó ïèòàííÿ ïðî ¿õ çá³æí³ñòü ðîçâ’ÿçóºòüñÿ<br />
àíàëîã³÷íî.<br />
12.3. ÇÍÀÊÎÏÅÐÅ̲ÆͲ ÐßÄÈ<br />
Ðîçãëÿíåìî çíàêîïåðåì³æíèé ðÿä<br />
n-1 ∞ n-1<br />
a1 − a2 + a3 − a4<br />
+ ... + ( − 1 ) an<br />
+ ... = ∑ ( −1)<br />
a<br />
n , (12.3.1)<br />
n=<br />
1<br />
äå a n > 0, n ∈ N. Îòæå, äëÿ çðó÷íîñò³ ïðèéìàºòüñÿ, ùî ïåðøèé<br />
÷ëåí ðÿäó ìຠçíàê ïëþñ.<br />
Äëÿ çíàêîïåðåì³æíèõ ðÿä³â ìຠì³ñöå òàêà, äóæå ïðîñòà<br />
äîñòàòíÿ îçíàêà çá³æíîñò³.<br />
Òåîðåìà 12.3.1 (îçíàêà Ëåéáí³öà). Çíàêîïåðåì³æíèé<br />
ðÿä (12.3.1) çá³ãàºòüñÿ, ÿêùî éîãî ÷ëåíè ñïàäàþòü çà àáñîëþòíèì<br />
çíà÷åííÿì, ïðÿìóþ÷è äî íóëÿ, òîáòî a 1 > a 2 > a 3 > ...<br />
³ lim a n<br />
= 0 .<br />
n→∞<br />
Äîâåäåííÿ. Íåõàé çàäàíî ðÿä (12.3.1), ïðè öüîìó<br />
a n > a n+1 ³ a n → 0 ïðè n →∞.<br />
Ðîçãëÿíåìî ÷àñòèííó ñóìó ðÿäó ç ïàðíèì ÷èñëîì ÷ëåí³â<br />
( ) ( ) ( )<br />
S = a − a + a − a + ... + a − a = a − a + a − a + ... + a −a .<br />
2n 1 2 3 4 2n-1 2n 1 2 3 4 2n-1 2n<br />
Óñ³ ð³çíèö³ â äóæêàõ çà óìîâîþ òåîðåìè äîäàòí³, òîìó<br />
ïîñë³äîâí³ñòü ÷àñòèííèõ ñóì {S 2n } º çðîñòàþ÷îþ. Ïîêàæåìî,<br />
ùî âîíà º îáìåæåíîþ. Äëÿ öüîãî çîáðàçèìî S 2n ó âèãëÿä³:<br />
( ) ( ) ... ( )<br />
S2 = a1 −⎡⎣<br />
a2 − a3 + a4 − a5 + + a2 -2<br />
− a2 -1<br />
+ a<br />
2<br />
⎤<br />
n n n n ⎦.<br />
Çâ³äñè âèïëèâàº, ùî S 2n < a 1 äëÿ áóäü-ÿêîãî n, òîáòî ïîñë³äîâí³ñòü<br />
{S 2n } — îáìåæåíà.<br />
Òàêèì ÷èíîì, ïîñë³äîâí³ñòü {S 2n } çðîñòàþ÷à ³ îáìåæåíà.<br />
Îòæå, çà òåîðåìîþ 5.2.6 âîíà ìຠãðàíèöþ, òîáòî lim S2n<br />
= S .<br />
n→∞<br />
Ïîêàæåìî, ùî äî ö³º¿ æ ãðàíèö³ S çá³ãàºòüñÿ ³ ïîñë³äîâí³ñòü<br />
÷àñòèííèõ ñóì íåïàðíîãî ÷èñëà ÷ëåí³â ðÿäó {S 2n+1 }.<br />
ijéñíî, S 2n+1 = S 2n + a 2n+1 . Ïåðåõîäÿ÷è â ö³é ð³âíîñò³ äî ãðà-<br />
íèö³ ïðè n →∞ ³ âèêîðèñòîâóþ÷è óìîâó òåîðåìè (a n → 0<br />
ïðè n →∞), îòðèìàºìî<br />
( )<br />
lim S = lim S2 + a2 1<br />
= lim S2 + lim a2 1<br />
= S + 0 = S .<br />
2n + 1<br />
n n+ n n+<br />
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞<br />
Òàêèì ÷èíîì, ïîñë³äîâí³ñòü ÷àñòèííèõ ñóì {S n } ðÿäó<br />
(12.3.1) çá³ãàºòüñÿ äî ãðàíèö³ S. Öå ³ îçíà÷àº, ùî ðÿä<br />
(12.3.1) çá³ãàºòüñÿ.<br />
Ïðèêëàä 12.3.2. Ðÿä<br />
1 1 1 n+ 1 1 ∞ n+<br />
1 1<br />
( ) ∑ ( )<br />
n=<br />
1<br />
1− + − + + − 1 + = −1<br />
2 3 4 K n<br />
K<br />
n<br />
çá³ãàºòüñÿ, òîìó ùî â³í çàäîâîëüíÿº âèìîãè îçíàêè Ëåéáí³öà:<br />
1 > > > ... > > ... ³ lim = 0<br />
1 1 1<br />
1<br />
2 3 n<br />
n<br />
. Çàóâàæèìî, ùî öåé ðÿä<br />
→∞ n<br />
â³äð³çíÿºòüñÿ â³ä ãàðìîí³÷íîãî ðÿäó ò³ëüêè çíàêàìè ïàðíèõ<br />
÷ëåí³â.<br />
12.4. ÏÎÍßÒÒß ÏÐÎ ÀÁÑÎËÞÒÍÎ<br />
ÒÀ ÓÌÎÂÍÎ ÇÁ²ÆͲ ÐßÄÈ<br />
Ðîçãëÿíåìî òåïåð ðÿäè, ÷àñòèíà ÷ëåí³â ÿêèõ äîäàòí³, à<br />
÷àñòèíà ÷ëåí³â â³ä’ºìí³ àáî ð³âí³ íóëþ. Ïðè öüîìó ÷åðãóâàííÿ<br />
äîäàòíèõ òà â³ä’ºìíèõ ÷ëåí³â ðÿäó äîâ³ëüíå.  öèõ<br />
âèïàäêàõ ïîïåðåäí³ äîñòàòí³ ïðèçíàêè âæå íå ïðàöþþòü.<br />
ßñíî, ùî âèíèêຠïèòàííÿ ïðî äîñë³äæåííÿ çá³æíîñò³ ðÿä³â<br />
ç âêàçàíèìè îñîáëèâîñòÿìè. Äëÿ âèð³øåííÿ ö³º¿ ïðîáëåìè<br />
ìàòåìàòèêè ââåëè ïîíÿòòÿ àáñîëþòíî¿ çá³æíîñò³. Ïîðó÷ ç<br />
ðÿäîì<br />
ðîçãëÿäàºòüñÿ ðÿä<br />
a1 + a2 + a3 + a4<br />
+ ... + an<br />
+ ... = ∑ an<br />
(12.4.1)<br />
∞<br />
n=<br />
1<br />
∞<br />
a1 + a2 + a3 + a4<br />
+ ... + an<br />
+ ... =∑ a<br />
n , (12.4.2)<br />
n=<br />
1<br />
ÿêèé ñêëàäåíèé ç àáñîëþòíèõ âåëè÷èí éîãî ÷ëåí³â.<br />
460 461