ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Íåð³âí³ñòü (12.2.13) ãîâîðèòü ïðî òå, ùî ïîñë³äîâí³ñòü a n
çðîñòຠ³ òèì ñàìèì íå âèêîíóºòüñÿ íåîáõ³äíà óìîâà çá³æíîñò³
ðÿäó. Òàêèì ÷èíîì, ðÿä (12.2.8) ó öüîìó âèïàäêó
ðîçá³ãàºòüñÿ.
3°. ßêùî ρ = 1, òî íà ïðèêëàäàõ ìîæíà ïîêàçàòè, ùî ðÿä
â îäíèõ âèïàäêàõ çá³ãàºòüñÿ, à â ³íøèõ âèïàäêàõ ðîçá³ãà-
ºòüñÿ. ßñíî, ùî â òàêèõ âèïàäêàõ ìè ïîâèíí³ çàñòîñóâàòè
³íøó îçíàêó çá³æíîñò³.
Òåîðåìó äîâåäåíî.
Ïðèêëàä 12.2.1. Äîñë³äèòè çà îçíàêîþ Äàëàìáåðà çá³æí³ñòü
ðÿäó ∑
∞
5
n
n
n=
1 2 .
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Çíàþ÷è n-é ÷ëåí ðÿäó, çíàõîäèìî íàñòóïíèé
çà íèì (n + 1)-é ÷ëåí, çàì³íþþ÷è â âèðàç³ n-ãî
÷ëåíà n íà n + 1. Ïîò³ì øóêàºìî ãðàíèöþ â³äíîøåííÿ íàñòóïíîãî
÷ëåíà a n+1 äî ïîïåðåäíüîãî a n ïðè íåîáìåæåíîìó
çðîñòàíí³ n:
( n + 1)
5
n
an
= , a
n n +
=
n
2 2 +
1 1
an+
1
1⎛n
+ 1⎞ 1 ⎛ 1⎞
1
ρ= lim = lim ⎜ ⎟ = lim ⎜1+ ⎟ =
n→+∞ a n→+∞ n
n
2 n →+∞
⎝ ⎠ 2 ⎝ n⎠
2 .
Òóò ρ < 1. Òîìó çã³äíî ç îçíàêîþ Äàëàìáåðà äàíèé ðÿä
çá³ãàºòüñÿ.
Íàâåäåìî, áåç äîâåäåííÿ, ³íøó äîñòàòíþ îçíàêó çá³æíîñò³
ðÿäó ç äîäàòíèìè ÷ëåíàìè — ³íòåãðàëüíó îçíàêó Êîø³.
Òåîðåìà 12.2.2. Ðÿä ç äîäàòíèìè ñïàäíèìè ÷ëåíàìè
a n = f(n) çá³ãàºòüñÿ àáî ðîçá³ãàºòüñÿ, â çàëåæíîñò³ â³ä òîãî,
5
5 5
çá³ãàºòüñÿ ÷è ðîçá³ãàºòüñÿ íåâëàñíèé ³íòåãðàë
f(x) — íåïåðåðâíà ñïàäíà ôóíêö³ÿ.
Ïðèêëàä 12.2.2. Äîñë³äèòè çá³æí³ñòü ðÿäó
+ 1 + 1 + ... + 1 ∞
...
α α α α
( )
n
+ = 1
1 ∑
n=
n
α > 0 .
2 3
1
;
∞
∫ fxdx ( ) , äå
1
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Íåâàæêî ïåðåêîíàòèñÿ (äèâ. ïðèêë.
∞
dx
9.6.6), ùî íåâëàñíèé ³íòåãðàë ∫ α ïðè α > 1 çá³ãàºòüñÿ, à
1 x
ïðè α≤1 ðîçá³ãàºòüñÿ. Îòæå, äàíèé ðÿä çá³ãàºòüñÿ ïðè α >1
òà ðîçá³ãàºòüñÿ ïðè α≤1.
Çàóâàæåííÿ. Ïðè α=1 ðÿä íàáóâຠâèãëÿäó:
1 1 1 ∞ 1
1+ + + ... + + ... = ∑ . (12.2.14)
2 3 n n=
1 n
Ðÿä (12.2.14) íàçèâàºòüñÿ ãàðìîí³÷íèì. Îñê³ëüêè, α=1,
òî ãàðìîí³÷íèé ðÿä ðîçá³ãàºòüñÿ. Äî ðå÷³, çà îçíàêîþ Äàëàìáåðà
öå íåìîæëèâî âñòàíîâèòè. ×èòà÷åâ³ ðåêîìåíäóºìî
öåé ôàêò îá´ðóíòóâàòè.
ÂÏÐÀÂÈ
Äîñë³äèòè çá³æí³ñòü ðÿä³â:
∞ 1
∞ 1
12.1. ∑
3 ; 12.2. ∑
n=
2 nln
n
n = 0 4n
+ 1 ; 12.3. ∞ n
∑
4
n=
3 n − 9 ;
∞ 1 ∞ 1
12.4. ∑
n = n 2 ; 12.5. ∑
2
1
n = 2 n −1 ; 12.6. ∞ n!
∑
n
n=
1 5 ;
∞ 1
∞
2n+
1
∞
3n
12.7. ∑ 3
7
n=
1 ( n + 1)
n
; 12.8. ∑
3n−1
; 12.9. ∑
n=
0
n=
3
2
( 2n
− 5 )!
;
∞
3
∞
n
1
∞
12.10. ∑
2n
−1
∑
n=
1 ( 2n
; 12.11. ∑
)!
n
; 12.12. n=
2 3
n=
1 2
2n
3
∞
n
3
∞
12.13. ∑
n
n=
0 2 ( 2n
+ 1 )
; 12.14. 4n
− 3
∑
n=
1 n
n3 ; 12.15. ∞ 1
∑
n ;
n=
1 n
1
n=
0
( )
− 2
12.16.
∞
∞
1
∞
∑ ; 12.17. ∑
n=
2 ln n
( n + 13 ) n 1
∑
n = 0
3
n + 1 ;
12.19.
∞ 1
∑
n
n=
1 n5 ∞
∞
1
ln ( n + 1)
∑
n
n=
0 2 + 1 ; 12.21. ∑
n=
1 3
n 2 .
Âêàç³âêà.  ïðèêëàäàõ 12.1 – 12.7 äîö³ëüíî âèêîðèñòîâóâàòè
³íòåãðàëüíó îçíàêó çá³æíîñò³; 12.8 – 12.14 — îçíàêó
Äàëàìáåðà; 12.15 – 12.21 — îçíàêó ïîð³âíÿííÿ.
;
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