ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Äîâ³ëüíèé åëåìåíò ìàòðèö³ ïîçíà÷àºòüñÿ a ij , äå ³íäåêñ i
âèçíà÷ຠíîìåð ðÿäêà, j — íîìåð ñòîâïöÿ, íà ïåðåòèí³ ÿêèõ
çíàõîäèòüñÿ öåé åëåìåíò. Ó íàâåäåíî¿ ìàòðèö³ m ðÿäê³â ³
n ñòîâïö³â. ²íîä³ ìàòðèöþ çàïèñóþòü ó âèãëÿä³ ñóêóïíîñò³
åëåìåíò³â À = {a ij }, i = 1, m, j = 1, n , ÿêùî íå ïîòð³áíî âêàçóâàòè
çíà÷åííÿ ¿¿ åëåìåíò³â.
Äîáóòîê ÷èñëà ðÿäê³â m íà ÷èñëî ñòîâïö³â n ìàòðèö³
íàçèâàþòü ðîçì³ðîì ìàòðèö³ ³ ïîçíà÷àþòü m × n.
Òåïåð ïîâåðíåìîñÿ äî òàáëèö³. Âîíà ìîæå áóòè çàïèñàíà
ó âèãëÿä³ ìàòðèö³.
Ìàòðèöÿ òåæ òàáëèöÿ. Ïðîòå çàïèñ âêàçàíîãî âèùå ðîçïîä³ëó
äîñèòü ïðîñòèé ³ ãîëîâíå — êîìïàêòíèé.
Ó ìàòðè÷í³é ôîðì³ íàâåäåíà òàáëèöÿ âèãëÿäèòü òàê:
⎛a
a
A a a
⎜
⎝a
a
11 12
⎜ ⎟
= ⎜ 21 22 ⎟
31 32
Ó öüîìó çàïèñó åëåìåíòè ìàòðèö³ ìàþòü ïåâíèé çì³ñò.
Òàê, íàïðèêëàä, åëåìåíò a 11 ïîêàçóº ñóêóïíó ê³ëüê³ñòü åíåð㳿,
ÿêó âæèâຠïðîìèñëîâ³ñòü, à åëåìåíò a 33 ïîêàçóº ê³ëüê³ñòü
íàóêîâèõ ðîçðîáîê, ÿê³ âèêîðèñòîâóº ñ³ëüñüêå ãîñïîäàðñòâî.
Çàóâàæåííÿ. Âåêòîðè ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê ÷àñòêîâ³
âèïàäêè ìàòðèöü. Íàïðèêëàä, n-âèì³ðíèé âåêòîð-ðÿäîê º
ìàòðèöåþ ðîçì³ðîì 1×n, à n-âèì³ðíèé âåêòîð-ñòîâïåöü —
ìàòðèöåþ n × 1.
Ìàòðèöÿ, â ÿê³é ÷èñëî ðÿäê³â äîð³âíþº ÷èñëó ñòîâïö³â, íàçèâàºòüñÿ
êâàäðàòíîþ. ʳëüê³ñòü ðÿäê³â (ñòîâïö³â) êâàäðàòíî¿
ìàòðèö³ íàçèâàºòüñÿ ¿¿ ïîðÿäêîì. Íàïðèêëàä, ìàòðèöÿ
⎛2 5⎞
⎜ ⎟
⎝011⎠
— äðóãîãî ïîðÿäêó,
⎞
.
⎟
⎠
⎛123⎞
⎜ ⎟
456
⎜789⎟
⎝ ⎠
— òðåòüîãî ïîðÿäêó.
Î÷åâèäíî, ùî ðîçì³ð êâàäðàòíî¿ ìàòðèö³ ïîðÿäêó n äîð³âíþº
n 2 .
Ó êâàäðàòí³é ìàòðèö³ âèä³ëÿþòü: ãîëîâíó ä³àãîíàëü —
åëåìåíòè, ùî çíàõîäÿòüñÿ íà ä³àãîíàë³, ÿêà ì³ñòèòü ïåðøèé
³ îñòàíí³é åëåìåíòè ìàòðèö³; ïîá³÷íó ä³àãîíàëü — åëåìåíòè
äðóãî¿ ä³àãîíàë³. Íàïðèêëàä, ó ìàòðèö³
⎛ b b b
⎜
⎜ b b b
⎜
⎝
b b b
11 12 13
21 22 23
31 32 33
⎞ →b , b , b
⎟
⎟
⎟
⎠ → b , b , b
13 22 31
11 22 33
ßêùî ó âèõ³äí³é ìàòðèö³ À çàì³íèòè ðÿäêè íà ñòîâïö³ ó
â³äïîâ³äíîìó ïîðÿäêó (ïåðøèé ðÿäîê íà ïåðøèé ñòîâïåöü ³
ò. ä.), òî îòðèìàºìî ìàòðèöþ À Ò (À Ò ), ÿêà íàçèâàºòüñÿ òðàíñïîíîâàíîþ
ìàòðèöåþ ïî â³äíîøåííþ äî À. Î÷åâèäíî, ùî
(À Ò ) Ò = À. Åëåìåíòè ìàòðèöü À ³ À Ò ïîâ’ÿçàí³ ñï³ââ³äíîøåííÿì
aij
= aji
( i = 1, n, j = 1, m)
.
Íàïðèêëàä,
C
⎛c
c
⎞
⎛c
⎞
⎜
C = c C = c c c
⎜ ⎟
⎝c3
⎠
1
⎟ T
2
,
1 2 3
11 12
⎜ ⎟ c11 c21 c
T
⎛
31 ⎞
= ⎜c21 c22
⎟,
C = ⎜ ⎟
⎜
⎝c12 c22 c32
⎠
c31 c ⎟
32
( )
⎝ ⎠
3× 2 2× 3 −
— åëåìåíòè ïîá³÷íî¿ äèàãîíàë³;
— åëåìåíòè ãîëîâíî¿ äèàãîíàë³.
ðîçì³ð ìàòðèö³.
Ç îçíà÷åííÿ ìàòðèö³ ìîæíà çðîáèòè âèñíîâîê, ùî ñèñòåìà
âåêòîð³â ìîæå áóòè çîáðàæåíà äâîìà ìàòðèöÿìè À é À Ò ,
òîáòî êîìïîíåíòè êîæíîãî âåêòîðà ìîæóòü çàïèñóâàòèñÿ ïî
ðÿäêàõ àáî ñòîâïöÿõ.
Ìàòðèöÿ íàçèâàºòüñÿ íóëüîâîþ, ÿêùî âñ³ ¿¿ åëåìåíòè º
íóë³; ä³àãîíàëüíîþ, ÿêùî âñ³ åëåìåíòè, çà âèêëþ÷åííÿì ãîëîâíî¿
ä³àãîíàë³, äîð³âíþþòü íóëþ; òðèêóòíîþ, ÿêùî íèæí³
àáî âåðõí³ åëåìåíòè íàä ãîëîâíîþ ³ ïîá³÷íîþ ä³àãîíàëÿìè
äîð³âíþþòü íóëþ; ñèìåòðè÷íîþ, ÿêùî a ij = a ji .
44 45