ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Îñê³ëüêè ðÿä (12.2.7) çá³ãàºòüñÿ, òî ìàºìî
lim σ
= σ
n ,
n →∞
äå σ — ñóìà ðÿäó (12.2.7). Çã³äíî ç óìîâîþ òåîðåìè ïîñë³äîâíîñò³
çð³çàíèõ ñóì ðÿä³â (12.2.6) – (12.2.7) ³ ñóìà ðÿäà
(12.2.7) ïîâ’ÿçàíà íåð³âí³ñòþ
0 ≤ S n ≤σ n ≤σ.
Íà ï³äñòàâ³ òîãî, ùî åëåìåíòè íåâ³ä’ºìí³, ïîñë³äîâí³ñòü S n
íåñïàäíà ³, êð³ì òîãî, çã³äíî ç îñòàííüîþ íåð³âí³ñòþ âîíà º
îáìåæåíîþ. Ó â³äïîâ³äíîñò³ äî òåîðåìè 5.2.6 ïîñë³äîâí³ñòü
ìຠãðàíèöþ.
Òåîðåìó äîâåäåíî.
12.2.3. Îçíàêà çá³æíîñò³ Äàëàìáåðà
Òåîðåìà 12.2.1. Íåõàé óñ³ ÷ëåíè ðÿäó
a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n + ... (12.2.8)
äîäàòí³, ³ íåõàé
a
lim
a
n→+∞
n + 1
n
=ρ. (12.2.9)
Òîä³ ïðè ρ < 1 ðÿä çá³ãàºòüñÿ, à ïðè ρ > 1 ðîçá³ãàºòüñÿ.
Ïðè ρ = 1 ïèòàííÿ ïðî çá³æí³ñòü ðÿäó çàëèøàºòüñÿ â³äêðèòèì,
òîáòî ðÿä ∑
∞ a
n ìîæå ÿê çá³ãàòèñÿ, òàê ³ ðîçá³ãàòèñÿ.
n=
1
Ó öüîìó âèïàäêó íåîáõ³äíå äîäàòêîâå äîñë³äæåííÿ çà äîïîìîãîþ
³íøèõ îçíàê.
Äîâåäåííÿ. Çà îçíà÷åííÿì ãðàíèö³ ïîñë³äîâíîñò³
(äèâ. ï. 5.2) ³ç ð³âíîñò³ (12.2.9) âèïëèâàº, ùî
∀ε >0∃Nn >N:
an
+ 1
−ρ a n (12.2.13)
ïðè n > N +1.
q
456 457