ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Çàóâàæåííÿ. Âèïàäîê α = 0 íå âèêëþ÷àºòüñÿ.  öüîìó
âèïàäêó f(x) =P n (x), à y ÷.í. = Q n (x)x r , äå r — ÷èñëî êîðåí³â
õàðàêòåðèñòè÷íîãî ð³âíÿííÿ, ÿê³ äîð³âíþþòü íóëþ.
Ïðèêëàä 11.7.4 Çíàéòè çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ
x
y′′ − 5y′
+ 6y = e . (11.7.5)
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ñêëàäàºìî õàðàêòåðèñòè÷íå ð³âíÿííÿ ³
2
çíàõîäèìî éîãî êîðåí³: k − 5k+ 6 = 0, k1 = 2, k2
= 3. Çàãàëüíèé
ðîçâ’ÿçîê îäíîð³äíîãî ð³âíÿííÿ y ç.î. ìຠâèãëÿä:
2x
3x
y ç.î. ce
1
ce
2
= + .
Îñê³ëüêè k 1 =2 ³ k 2 = 3 íå ð³âí³ α = 1, òî ÷àñòèííèé ðîçâ’ÿçîê
íåîäíîð³äíîãî ð³âíÿííÿ y ÷.í. ñë³ä øóêàòè ó âèãëÿä³
x
y ÷.í. = Ae ,
äå À – íåâ³äîìà ñòàëà.
x
x
Çíàõîäèìî y′ ÷.í. ³ y′′ ÷.í. :y′ ÷.í.
= Ae y′′ ÷.í.
= Ae . ϳäñòàâëÿþ÷è
âèðàçè y ÷.í. , y′′ ÷.í. , ³ y′′′ ÷.í. äî ð³âíÿííÿ (11.7.5) ³ ñêîðî÷óþ÷è íà
x
ìíîæíèê e ≠ 0 îäåðæóºìî ð³âí³ñòü: A –5A +6A = 1, çâ³äê³ëÿ
A = 1/2.
Îòæå, ÷àñòèííèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ 11.7.5 ìຠâèãëÿä:
1 x
y ÷.í.
= e , à çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê éîãî òàêèé:
2
2
y
x 3x 1 x
ç.í. = ce
1
+ ce
2
+ e .
2
Ïðèêëàä 11.7.5. Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ
y′′ − 7y′
+ 6 y = ( x − 2) e
x . (11.7.6)
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Òóò ïðàâà ÷àñòèíà ìຠâèãëÿä:
( ) 1 x
P1 x = e ⋅ , ïðè÷îìó êîåô³ö³ºíò 1 â ïîêàçíèêó ñòåïåí³ º ïðîñòèì
êîðåíåì õàðàêòåðèñòè÷íîãî ìíîãî÷ëåíà k 2 –7k +6=0,
k 1 = 1, k 2 = 6. Îòæå, ÷àñòèííèé ðîçâ’ÿçîê øóêàºìî ó âèãëÿä³
y ÷.í. =(Ax + B)xe x . ϳäñòàâëÿºìî éîãî äî ð³âíÿííÿ (11.7.6),
ìàºìî:
[(Ax 2 + Bx) +(4Ax +2B) +2A –7(Ax 2 + Bx) – 7(2Ax +B) +
+6(Ax 2 + Bx)]e x =(x –2)e x . (11.7.7)
Ïðè öüîìó ìè âèêîðèñòîâóâàëè, ùî
y′ ÷.í. =(2Ax +B)e x +(Ax 2 +Bx)e x =(Ax 2 +(B +2A)x + B)e x
y′′ ÷.í. =(2Ax +B +2A)e x +(Ax 2 +(B +2A)x + B)e x =
=[Ax 2 +(B +4A)x +2B +2A]e x .
Ñêîðî÷óþ÷è â (11.7.7) íà e x ≠ 0 ³ ïðèð³âíþþ÷è êîåô³ö³ºíòè
ïðè ð³âíèõ ñòåïåíÿõ x, îòðèìàºìî: –10A =1,
1 9
–5B +2A = –2, çâ³äêè A =− , B = . Îòæå, ÷àñòèííèì
10 25
ðîçâ’ÿçêîì ð³âíÿííÿ 11.7.6 º
⎛ 1 9 ⎞
y ÷.í.
= x⎜− x + e
10 25
⎟
⎝
⎠
à éîãî çàãàëüíèì — ôóíêö³ÿ:
⎛ 1 9 ⎞
⎜
10 25
⎟
⎝
⎠
Ïðèêëàä 11.7.6. Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ
x 6x x
y ç.í. = ce
1
+ ce
2
+ x − x+
e
x
x
y′′ − 2y′
+ y = e . (11.7.8)
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ñêëàäåìî õàðàêòåðèñòè÷íå ð³âíÿííÿ
k 2 –2k + 1 = 0. Éîãî êîðåí³ k 1 = k 2 = 1. Çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê
îäíîð³äíîãî ð³âíÿííÿ ìຠâèãëÿä:
y ç.o. = e x (c 1 + xc 2 ).
×àñòèííèé ðîçâ’ÿçîê íåîäíîð³äíîãî ð³âíÿííÿ ó â³äïîâ³äíîñò³
äî ôîðìóëè (11.7.4) (k 1 = k 2 = α = 1) ñë³ä øóêàòè ó
âèãëÿä³: y ç.í. =Ax 2 e x . Çíàõîäèìî ïåðøó ³ äðóãó ïîõ³äí³ ö³º¿
ôóíêö³¿:
,
.
438 439