ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Òîä³
( ) ( )
y2 x ≡λy1 x , λ= const. (11.6.13)
( ) ( )
y′ x ≡λ y′
x . (11.6.14)
2 1
ϳäñòàâèìî (11.6.13) – (11.6.14) ó âèçíà÷íèê Âðîíñüêîãî.
 ðåçóëüòàò³ ìàòèìåìî
( )
y y y λy
= = = 0 ∀ ∈( , ). (11.6.15)
1 2 1 1
W y x a b
y′ 1
y′ 2
y′ 1
λy′
1
Òóò â îñòàííüîìó ëàíöþæêó ð³âíîñòåé ìè ñêîðèñòàëèñÿ
âëàñòèâ³ñòþ âèçíà÷íèêà (äèâ. 2.3.2).
Îòæå, òåîðåìó äîâåäåíî.
Òåîðåìà 11.6.3. ßêùî ðîçâ’ÿçêè y 1 (x) ³ y 2 (x) ËÎÄÐ
(11.6.1) ë³í³éíî íåçàëåæí³ íà (a, b), òî âèçíà÷íèê Âðîíñüêîãî,
ñêëàäåíèé ç íèõ, â³äì³ííèé â³ä íóëÿ íà öüîìó ³íòåðâàë³.
Ä î â å ä å í í ÿ áóäåìî ïðîâîäèòè ìåòîäîì â³ä ñóïðîòèâíîãî.
Ïðèïóñòèìî, ùî ³ñíóº òî÷êà x 0 ∈(a, b), â ÿê³é âðîíñê³àí
ïåðåòâîðþºòüñÿ â íóëü, òîáòî W(x 0 ) = 0. Ñêëàäåìî ñèñòåìó
ð³âíÿíü
⎧α ⎪ 1y1( x0) +α
2y2( x0)
= 0
⎨
⎪⎩ α 1y′ 1( x0) +α 2y′
2( x0)
= , (11.6.16)
0
â ÿê³é α 1 ³ α 2 — íåâ³äîì³ ÷èñëà. Îñê³ëüêè âèçíà÷íèê ö³º¿
ñèñòåìè
( ) ( )
( ) ( )
y x y x
( ) 0
′ ′ ,
1 0 2 0
∆= = W x0
=
y1 x0 y2 x0
òî âîíà ìຠ(äèâ. ï. 3.6.2) íåòðèâ³àëüíèé ðîçâ’ÿçîê â³äíîñíî
α 1 ³ α 2 (òîáòî õî÷à á îäíå ç íèõ â³äì³ííå â³ä íóëÿ).
Ðîçãëÿíåìî òåïåð ôóíêö³þ
( ) ( ) ( )
y x =α y x +α y x ,
1 1 2 2
äå α 1 ³ α 2 — íåòðèâ³àëüí³ ðîçâ’ÿçêè ñèñòåìè (11.6.16).
Çà òåîðåìîþ 11.6.1 öÿ ôóíêö³ÿ º ðîçâ’ÿçêîì ð³âíÿííÿ
(11.6.2). Êð³ì öüîãî, îñê³ëüêè α 1 ³ α 2 — ðîçâ’ÿçêè ñèñòåìè
(11.6.2), òî ôóíêö³ÿ y(x) çã³äíî ç (11.6.16) çàäîâîëüíÿº íóëüîâ³
ïî÷àòêîâ³ óìîâè
( ) ′
0 ( 0)
y x = 0, y x = 0 . (11.6.17)
ßñíî, ùî òàê³ ïî÷àòêîâ³ óìîâè çàäîâîëüíÿº ³ ôóíêö³ÿ
y(x) ≡ 0. Çà òåîðåìîþ ³ñíóâàííÿ òà ºäèíîñò³, ðîçâ’ÿçîê
y(x) ≡ 0 º ºäèíèì ðîçâ’ÿçêîì ð³âíÿííÿ (11.6.2) ç ïî÷àòêîâèìè
óìîâàìè (11.6.17). Îòæå y ( x) y ( x)
1 1 2 2
0
α +α ≡ íà ³íòåðâàë³
(a, b), à öå îçíà÷àº, ùî ôóíêö³¿ y 1 (x) ³ y 2 (x) ë³í³éíî çàëåæí³.
Îòðèìàëè ñóïåðå÷í³ñòü, ÿêà é äîâîäèòü òåîðåìó.
Âñòàíîâèìî òåïåð, çà ÿêèõ óìîâ ôóíêö³ÿ
y( x) = C1y1( x) + C2y2( x)
º çàãàëüíèì ðîçâ’ÿçêîì ËÎÄÐ
(11.6.2).
Òåîðåìà 11.6.4 (ïðî ñòðóêòóðó çàãàëüíîãî ðîçâ’ÿçêó
ËÎÄÐ). ßêùî ôóíêö³¿ y 1 (x) ³ y 2 (x) ë³í³éíî íåçàëåæí³ ðîçâ’ÿçêè
ð³âíÿííÿ (11.6.2), òî ôóíêö³ÿ
( ) ( ) ( )
y x = C y x + C y x (x∈(a, b)), (11.6.18)
1 1 2 2
äå C 1 ³ C 2 — äîâ³ëüí³ ñòàë³, ÿâëÿº ñîáîþ çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê
ð³âíÿííÿ (11.6.1).
Äîâåäåííÿ. Íàãàäàºìî, ùî íà ï³äñòàâ³ òåîðåìè 11.6.1
ôóíêö³ÿ y = C1y1( x) + C2y2( x)
ïðè áóäü-ÿêèõ çíà÷åííÿõ ñòàëèõ
C 1 ³ C 2 º ðîçâ’ÿçêîì ð³âíÿííÿ (11.6.1). Òåïåð, äëÿ òîãî
ùîá äîâåñòè, ùî öÿ ôóíêö³ÿ º çàãàëüíèì ðîçâ’ÿçêîì, äîñòàòíüî
âñòàíîâèòè, ùî ç íüîãî ìîæíà âèä³ëèòè ÷àñòèíí³ ðîçâ’ÿçêè.
Íåõàé x 0 ∈(a, b) ³
( ) , ( )
y x = y y′ x = y′
(11.6.19)
0 0 0 0
äîâ³ëüí³ ïî÷àòêîâ³ óìîâè.
Ïîêàæåìî, ùî ñòàë³ C 1 ³ C 2 ìîæíà ï³ä³áðàòè òàê, ùî ðîçâ’ÿçîê
âèãëÿäó (11.6.18) ïðè öèõ çíà÷åííÿõ ñòàëèõ ÿâëÿº
ñîáîþ ÷àñòèííèé ðîçâ’ÿçîê, ÿêèé çàäîâîëüíÿº ïî÷àòêîâ³ óìîâè
(11.6.19).
432 433