ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Ïðèêëàä 11.6.2. Ïîêàçàòè, ùî ôóíêö³¿ ( )
( )
1
kx
= ,
y x e
y2 x = 5e
kx (k ∈ R ) ë³í³éíî çàëåæí³ íà (–∞, ∞), òîáòî ë³í³éíî
çàëåæí³ ïðè x ∈ R .
Ä î â å ä å í í ÿ. Ñêëàäåìî ë³í³éíó êîìá³íàö³þ
( )
α e + α 5e = e α + 5α .
kx kx kx
1 2 1 2
ßêùî òåïåð ó ö³é ð³âíîñò³ ïîêëàäåìî α 1 =–5α 2 , α 2 ≠ 0, òî
∀x∈R áóäåìî ìàòè òîòîæí³ñòü
kx
α e + 5α e ≡ 0,
kx
1 2
ïðè÷îìó α 1 ³ α 2 íå äîð³âíþþòü íóëþ.
Çã³äíî ç îçíà÷åííÿì 11.6.1 ôóíêö³¿
1 ( )
( ) = ë³í³éíî çàëåæí³ ïðè x∈R.
Çàóâàæåííÿ 1. Ó ïðèêëàä³ 11.6.2 y2( x) 5y1( x)
y x e
2
5 kx
y x e
kx
= òà
= . Ïðè
öüîìó âèÿâèëîñÿ, ùî âîíè ë³í³éíî çàëåæí³. Öåé ïðèêëàä
óçàãàëüíþºòüñÿ. Ìຠì³ñöå òàêå òâåðäæåííÿ: äëÿ òîãî ùîá
ôóíêö³¿ y 1 (x) òà y 2 (x) áóëè ë³í³éíî çàëåæíèìè, íåîáõ³äíî ³
äîñòàòíüî, ùîá âîíè áóëè ïðîïîðö³éíèìè, òîáòî áóëè ïîâ’ÿçàí³
òîòîæí³ñòþ
( ) ≡λ ( ) àáî y ( x) y ( x)
y x y x
2 1
1 2
≡λ , x∈(a, b). (11.6.10)
Í å î á õ³ ä í ³ ñ ò ü. Ôóíêö³¿ y 1 (x) òà y 2 (x) ë³í³éíî çàëåæí³,
öå îçíà÷àº, ùî ³ñíóþòü òàê³ ÷èñëà α 1 ³ α 2 , ç ÿêèõ õî÷à á
îäíå â³äì³ííå â³ä íóëÿ, òà ìຠì³ñöå òîòîæí³ñòü (11.6.7).
Äëÿ êîíêðåòíîñò³ áóäåìî ââàæàòè, ùî öå ÷èñëî α 2 . Òîä³ ³ç
òîòîæíîñò³ (11.6.7) âèïëèâຠy ( ) 1
2
x y1( x)
α
α
≡− α
2
. Ïîçíà÷èìî
1
λ=− α
. Òîä³ y 2 (x) =λy 1 (x) ³ ä³éñíî ìຠì³ñöå (11.6.10).
2
Äîñòàòí³ñòü. Íåõàé ôóíêö³¿ y 1 (x) òà y 2 (x) ïîâ’ÿçàí³
òîòîæí³ñòþ (11.6.10). Íàïðèêëàä, ïåðøîþ, òîä³ òîòîæí³ñòü
ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿä³:
( ) ( )
1⋅y x −λy x ≡ 0. (11.6.11)
2 1
гâí³ñòü (11.6.11) îçíà÷àº, ùî y 1 (x) òà y 2 (x) ë³í³éíî çàëåæí³.
Öå ä³éñíî òàê, òîìó ùî ³ç äâîõ ÷èñåë 1 ³ λ ñàìå 1
â³äì³ííå â³ä íóëÿ.
Àíàëîã³÷íî äîâîäèòüñÿ òâåðäæåííÿ ïðè α 1 ≠ 0.
Îòæå, òâåðäæåííÿ äîâåäåíî. Íàäàë³, íå îáìåæóþ÷è çàãàëüíîñò³,
áóäåìî ïðèïóñêàòè ïðè íàÿâíîñò³ çàëåæíîñò³ ôóíêö³¿
y 1 (x) òà y 2 (x) ïåðøèé çàïèñ (11.6.10).
Çàóâàæåííÿ 2. Î÷åâèäíî, ùî ÿêùî ôóíêö³¿ y 1 (x) òà
y1
( x)
const
y2
( x)
≠ .
Ïðèêëàä 11.6.3. Äîâåñòè, ùî ôóíêö³¿ ( )
y 2 (x) ë³í³éíî íåçàëåæí³, òî â³äíîøåííÿ
2
( )
y x xe
kx
= , k∈R ë³í³éíî íåçàëåæí³ ïðè x∈R.
Äîâåäåííÿ. Ðîçãëÿíåìî â³äíîøåííÿ
1
kx
= ,
y x e
y2
( x)
y2
( x)
y ( x )
( )
1
x
y x = ,
x∈R. Îñê³ëüêè x çì³ííà, òî çã³äíî ç çàóâàæåííÿì 2 ôóíêö³¿
y 1 (x) òà y 2 (x) ë³í³éíî íåçàëåæí³. Ùî ³ òðåáà áóëî äîâåñòè.
Çà îçíà÷åííÿì ç’ÿñóâàòè ë³í³éíó çàëåæí³ñòü àáî ë³í³éíó
íåçàëåæí³ñòü ÷àñòî áóâຠâàæêî. Ó çâ’ÿçêó ç öèì âèíèêàþòü
ïðîáëåìè. Âèð³øåííþ ¿õ äîïîìàãຠâèçíà÷íèê Âðîíñüêîãî
1 y1 y2
= yy′ 1 2
− yy′
2 1
y′ y′
. (11.6.12)
1 2
Âèçíà÷íèê Âðîíñüêîãî (âðîíñê³àí) ÿâëÿº ñîáîþ ôóíêö³þ,
âèçíà÷åíó íà (a, b), ³ ïîçíà÷àºòüñÿ W(y 1 , y 2 ) àáî ïðîñòî W(x).
Òåîðåìà 11.6.2. ßêùî ôóíêö³¿ y 1 (x) ³ y 2 (x) ë³í³éíî
çàëåæí³ íà (a, b), òî âèçíà÷íèê Âðîíñüêîãî, ñêëàäåíèé ç íèõ,
äîð³âíþº íóëþ íà öüîìó ³íòåðâàë³.
Äîâåäåííÿ. Îñê³ëüêè ôóíêö³¿ y 1 (x) ³ y 2 (x) ë³í³éíî çàëåæí³,
òî ó â³äïîâ³äíîñò³ äî çàóâàæåííÿ 1 âîíè ïîâ’ÿçàí³
ì³æ ñîáîþ ð³âí³ñòþ:
1
Âðîíñüêèé Þçåô (1775 – 1853) — ïîëüñüêèé ìàòåìàòèê.
1
430 431