ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Äàë³ âàð³þºìî ñòàëó ³ øóêàºìî ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ
(11.31) ó âèãëÿä³
2
y = c( x)
e −x . (11.5.12)
ϳäñòàâëÿþ÷è ôóíêö³þ (11.5.12) ³ ¿¿ ïîõ³äíó äî (11.5.11)
( ( ) −x
)
2 2 −x
y′ = c′
x e − xe 2
c ( x ) , ïåðåéäåìî äî ïðîñòîãî äèôåðåíö³àëüíîãî
ð³âíÿííÿ â³äíîñíî c(x):
2 2
−x
−x
′ = àáî ( ) 1
c( x)
e
e
c′ x = .
Î÷åâèäíî, ùî c(x) =x + c 0 ³ øóêàíèé ðîçâ’ÿçîê áóäå âèãëÿäàòè
òàê:
2 2
−x
−x
y = xe + c e , c = const.
0 0
Çàóâàæåííÿ 1.  íàâåäåíèõ ïðèêëàäàõ ëåãêî ïîáà÷èòè
çàêîíîì³ðí³ñòü: çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ë³í³éíîãî íåîäíîð³äíîãî
ð³âíÿííÿ çîáðàæåíî ó âèãëÿä³ ñóìè çàãàëüíîãî ðîçâ’ÿçêó
ë³í³éíîãî îäíîð³äíîãî ð³âíÿííÿ ³ ÷àñòèííîãî ðîçâ’ÿçêó
íåîäíîð³äíîãî ð³âíÿííÿ.
Äðóãèé ìåòîä (ìåòîä Áåðíóëë³ – Ôóð’º) ðîçâ’ÿçàííÿ ð³âíÿííÿ
âèãëÿäó (11.5.1) ïîëÿãຠâ çàì³í³ ôóíêö³¿ y äîáóòêîì
äâîõ äîïîì³æíèõ ôóíêö³é: y = uv. ˳í³éíå ð³âíÿííÿ
ïðè öüîìó çâîäèòüñÿ äî äâîõ ð³âíÿíü ç â³äîêðåìëþâàíèìè
çì³ííèìè â³äíîñíî êîæíî¿ ç äîïîì³æíèõ ôóíêö³é u ³ v.
ijéñíî, ï³äñòàâëÿþ÷è âèðàç äëÿ y ³ y′ äî (11.5.1), îòðèìà-
ºìî
uv ′ + vu ′ + P x uv= Q x ⇒ u′ + P x u v+ vu ′ = Q x .
( ) ( ) ( ( ) ) ( )
Âèáåðåìî ìíîæíèê u òàêèì, ùîá u′ + P( x) u = 0. Òîä³
( )
vu ′ = Q x . Îñòàíí³ äâà ð³âíÿííÿ ëåãêî ðîçâ’ÿçóþòüñÿ:
Pxdx ( )
u = e − ∫
(äèâ. ôîðìóëó (11.5.2), äå c = 1) ³
îñòàòî÷íî
Pxdx ( )
Pxdx ( )
v′ = Q x e
∫
⇒ v = Q x e
∫
∫ dx + c ,
( )
1
( )
−∫ ( ) −∫ ( ) ∫ ( )
( )
Pxdx Pxdx Pxdx
y = c e + e ∫ Q x e dx ,
1
ùî çá³ãàºòüñÿ ç ôîðìóëîþ (11.5.4). Ïðî³ëþñòðóºìî ìåòîä
ïðèêëàäàìè.
Çàóâàæåííÿ 2. Çà äîïîìîãîþ ï³äñòàíîâêè y = uv
( y′ = uv ′ + vu ′ ) ðîçâ’ÿçóºòüñÿ òàêîæ ð³âíÿííÿ Áåðíóëë³
n
y′ + P( x) y = y Q( x)
, ùî â³äð³çíÿºòüñÿ â³ä ë³í³éíîãî òèì, ùî
äî ïðàâî¿ ÷àñòèíè âõîäèòü ìíîæíèêîì ôóíêö³ÿ y â ñòåïåí³,
â³äì³ííîìó â³ä íóëÿ é îäèíèö³.
Ïðèêëàä 11.5.4. Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ
y′ − yctg
x = sin x.
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ïîêëàäåìî y = uv, òîä³ y′ = u′ v + uv′
³
ð³âíÿííÿ ïåðåòâîðèòüñÿ äî âèãëÿäó:
+ − = àáî ′ ( ′ ctg )
uv ′ uv′
uvctg
x sin x
uv+ u v − v x = sin x.
Îñê³ëüêè îäíó ç äîïîì³æíèõ ôóíêö³é u àáî v ìîæíà
óçÿòè äîâ³ëüíî, òî âèáåðåìî v ÿê äåÿêèé ÷àñòèííèé ³íòåãðàë
ð³âíÿííÿ v′ − vctg x = 0 .
Òîä³ äëÿ çíàõîäæåííÿ u îòðèìàºìî ùå îäíå ð³âíÿííÿ
uv ′ = sin x.
Ðîçâ’ÿçóºìî ïåðøå ð³âíÿííÿ, âèçíà÷àþ÷è â³äì³ííèé â³ä
íóëÿ ÷àñòèííèé ³íòåãðàë
dv
ctg xdx ln v ln sin x v sin x
v = ⇒ = ⇒ = .
ϳäñòàâëÿþ÷è v äî äðóãîãî ð³âíÿííÿ ³ ðîçâ’ÿçóþ÷è éîãî,
çíàéäåìî u ÿê çàãàëüíèé ³íòåãðàë öüîãî ð³âíÿííÿ
u′ sin x = sin x ⇒ du = dx ⇒ u = x + c .
Îòæå, îñòàòî÷íî
y = uv = ( x+ c)sin
x.
Ïðèêëàä 11.5.5. Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ
2 2 3
xyy′ + xy = 1 .
424 425