ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

 îòðèìàíîìó çàãàëüíîìó ðîçâ’ÿçêó ð³âíÿííÿ (11.5.6)
çàì³íèìî ñòàëó c ôóíêö³ºþ c(x), òîáòî y = c(x)x. Äèôåðåíö³þþ÷è
y, çíàõîäèìî:
y′ = c′
( x) x + c( x)
. (11.5.8)
ϳäñòàâëÿºìî äî ð³âíÿííÿ (11.5.5) øóêàíó ôóíêö³þ
y = c(x)x ³ ¿¿ ïîõ³äíó (11.5.8):
2
′ + − = .
c( x) x c( x) c( x)
x
2
x
Çâ³äñè c′ ( x) = x,
³ cx ( ) = + c0,
äå c
2
0 — äîâ³ëüíà ñòàëà.
ϳäñòàâëÿþ÷è c(x) äî (11.5.7), îñòàòî÷íî çíàõîäèìî çàãàëüíèé
ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ:
3
x
yx ( ) = + cx
0 .
2
Ïðèêëàä 11.5.2. Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ
y′ − ytg
x = ctg x. (11.5.9)
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Áóäåìî ðîçâ’ÿçóâàòè éîãî ìåòîäîì âàð³àö³¿
äîâ³ëüíî¿ ñòàëî¿. Äëÿ öüîãî ðîçâ’ÿæåìî ñïî÷àòêó ë³í³éíå
îäíîð³äíå ð³âíÿííÿ, â³äïîâ³äíå äî äàíîãî íåîäíîð³äíîãî
y′ − ytg x = 0 .
Öå ð³âíÿííÿ ç â³äîêðåìëþâàíèìè çì³ííèìè, òîìó ëåãêî
ðîçâ’ÿçóºòüñÿ:
dy
dy
= ytg x; = tg xdx;
dx
y
dy
∫ tg xdx; ln y ln cos x ln c
y = ∫ = − + .
²ç îñòàííüî¿ ð³âíîñò³ îòðèìàºìî:
c
y = .
cos x
Ó çíàéäåíîìó çàãàëüíîìó ðîçâ’ÿçêó ë³í³éíîãî îäíîð³äíîãî
ð³âíÿííÿ âàð³þºìî äîâ³ëüíó ñòàëó c, òîáòî øóêàºìî ðîçâ’ÿçîê
ð³âíÿííÿ (11.5.9) ó âèãëÿä³
cx ( )
y = .
cos x
(11.5.10)
ϳäñòàâëÿþ÷è (11.5.10) äî íåîäíîð³äíîãî ð³âíÿííÿ
(11.5.9), ìàºìî
çâ³äêè
c′
( x) sinx tgx
+ cx ( ) − cx ( ) = ctgx
2
,
cos x cos x cos x
2
cos x
c′ ( x) = , à
sin x
cos x 1 − sin x x
cx ( ) = dx= dx= cosx+ ln tg + c
sin x sin x
2
2 2
∫ ∫ 0 .
ϳäñòàâëÿþ÷è çíàéäåíå c(x) â (11.5.10), îäåðæóºìî çàãàëüíèé
ðîçâ’ÿçîê âèõ³äíîãî ð³âíÿííÿ:
x
ln tg 2 c0
y = 1 + cos x
+ .
cos x
Ïðèêëàä 11.5.3. Çíàéòè çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ
2
′ + = . (11.5.11)
y 2xy e −x
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Øóêàòè ðîçâ’ÿçîê áóäåìî çà îïèñàíîþ
ñõåìîþ. Ðîçãëÿäàºìî â³äïîâ³äíå îäíîð³äíå ð³âíÿííÿ
y′ + 2xy
= 0.
⎛dy
⎞
³äîêðåìëþþ÷è çì³íí³ ⎜ =−2xdx⎟
³ ³íòåãðóþ÷è, îòðèìàºìî:
⎝ y ⎠
2
2
− x + ln c = ln y ; y = ce −x .
422 423