ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

²íòåãðóþ÷è,
ìàºìî
ln x ln c ln 1 z
2
=
1
− − , çâ³äê³ëÿ
2
2
x 1 − z = c1
, àáî x(1 − z ) = ± c . Ïîêëàäåìî ±c
1
1 = c, òîä³
2
c = x(1 − z ) , àáî îñòàòî÷íî
2
⎛
c x 1 y ⎞
= ⎜ −
2 ⎟
⎝ x ⎠ .
Ïðèêëàä 11.4.6. Ïðî³íòåãðóâàòè ð³âíÿííÿ
dy xy
=
2 2
dx
. (11.4.21)
x − y
Ðîçâ’ÿçàííÿ. ijëÿ÷è ÷èñåëüíèê ³ çíàìåííèê ïðàâî¿
÷àñòèíè ð³âíÿííÿ (11.4.21) íà x 2 , îòðèìàºìî
dy y / x
=
dx 1 − y/
x
( ) 2
Ðîáèìî çàì³íó y z
x = , òîä³ dz z
z + x = dx
2 .
1 − z
³äîêðåìëþþ÷è çì³íí³, áóäåìî ìàòè
z
²íòåãðóþ÷è, çíàõîäèìî:
1
2z
ln ln ln
2
1 − z dx
dz
3
= .
x
− − z = x + c
2
àáî 2
.
1
− = ln zxc .
2z
y
ϳäñòàâëÿþ÷è â îñòàííþ ð³âí³ñòü z = , îòðèìàºìî çàãàëüíèé
³íòåãðàë âèõ³äíîãî
x
ð³âíÿííÿ:
2
x
− = ln cy
2 .
2y
Çàóâàæåííÿ. гâíÿííÿ âèãëÿäó
Mxydx ( , ) + Nxydy ( , ) = 0
áóäå îäíîð³äíèì ó òîìó ³ ò³ëüêè ó òîìó âèïàäêó, ÿêùî
ôóíêö³¿ M(x, y) ³ N(x, y) º îäíîð³äíèìè ôóíêö³ÿìè îäíîãî é
òîãî ñàìîãî ñòåïåíÿ, òîáòî ÿêùî M(λx, λy) =λ n M(x, y) ³
N(λx, λy)=λ n N(x, y), äå λ > 0 — äîâ³ëüíå ÷èñëî, n — ñòåï³íü
îäíîð³äíîñò³.
Ïðèêëàä 11.4.11. Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ
( )
+ − = 0 . (11.4.22)
2 2
y xy dx x dy
2
Öå ð³âíÿííÿ º îäíîð³äíèì, îñê³ëüêè ôóíêö³¿ y + xy ³
x 2 — îäíîð³äí³ ôóíêö³¿ äðóãîãî ñòåïåíÿ.
Ðîçâ’ÿçàííÿ. ijëèìî îáèäâ³ ÷àñòèíè ð³âíÿííÿ
(11.4.22) íà x 2 ³ ðîçâ’ÿçóºìî â³äíîñíî ïîõ³äíî¿. Îòðèìàºìî:
Ââîäÿ÷è íîâó ôóíêö³þ
Ðîçâ’ÿçóþ÷è éîãî
2
dy ⎛⎛y ⎞ y ⎞
= +
dx ⎜⎜
x
⎟
⎝ ⎠ x ⎟
⎝ ⎠ .
y
z = , áóäåìî ìàòè ð³âíÿííÿ
x
2 dz
z + z = z + x . dx
= dz dz dx 1
, , ln
dx z
= x − z
= +
2
z x x c
2
³ ïîâåðòàþ÷èñü äî ñòàðèõ çì³ííèõ, îòðèìàºìî çàãàëüíèé
ðîçâ’ÿçîê
x
x
− = ln x + c ⇒ y = −
y c + ln x
.
418 419