ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

ÂÏÐÀÂÈ
Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ:
11.1. ( x + xy) dx + ( y + xy) dy = 0;
2 2
11.2. yy ( − 1) dx+ xx ( − 1) dy=
0;
2 2
11.3. xy ( − 1) dx+ yx ( − 1) dy=
0;
2 2
11.4. sec x⋅ tg ydx + sec y⋅ tg xdy = 0;
2 1
Âêàç³âêà. sec x =
2 ;
cos x
2 2
11.5. x 1+ y dx + y 1+ x dy = 0;
11.6 − ycos xdx + sin xdy = 0;
11.7. yln ydx + xdy = 0;
y
x
11.8. xe dx + ye dy = 0;
y + N dx + x + N dy = 0;
2 2 2 2
11.9. ( ) ( )
N
N
11.10. x ydy + y xdx = 0;
x 1+ Ny dx + y 1+ Nx = 0;
11.11. ( ) ( )
2 2 2 2
11.12. x N + y dx + y N + x dy = 0;
2 2 2 2
11.13. N − x dx + N − y dy = 0;
2 2 2 2
11.14. N − x dy + N − y dx = 0.
ßê ³ ðàí³øå, ïàðàìåòð N îçíà÷ຠ÷èñëî äàòè íàðîäæåííÿ
÷èòà÷à, ÿêèé áóäå âèêîíóâàòè âïðàâè 11.9–11.14.
11.4.2.2. Îäíîð³äí³ ð³âíÿííÿ
Äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ ïåðøîãî ïîðÿäêó íàçèâàºòüñÿ
îäíîð³äíèì, ÿêùî éîãî ìîæíà çîáðàçèòè ó âèãëÿä³:
⎛y
⎞
y′ =ϕ ⎜
x ⎟
⎝ ⎠ , (11.4.18)
äå ïðàâà ÷àñòèíà º ôóíêö³ºþ ò³ëüêè â³ä â³äíîøåííÿ çì³ííèõ.
Äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ (11.4.18) çâîäèòüñÿ äî ð³âíÿííÿ
ç â³äîêðåìëþâàíèìè çì³ííèìè øëÿõîì ï³äñòàíîâêè
y
z = ( y = zx)
. ijéñíî:
x
dy dz
= z+ x .
dx dx
ϳäñòàâëÿþ÷è öåé âèðàç ïîõ³äíî¿ ó ð³âíÿííÿ (11.4.18),
îòðèìàºìî:
dz
z+ x = ϕ () z . (11.4.19)
dx
гâíÿííÿ (11.4.19) — ð³âíÿííÿ ç â³äîêðåìëþâàíèìè
çì³ííèìè, ÿêå ðîçâ’ÿçóºòüñÿ ìåòîäîì, çàçíà÷åíèì âèùå.
ϳäñòàâëÿþ÷è ï³ñëÿ ³íòåãðóâàííÿ ð³âíÿííÿ (11.4.19) çàì³ñòü
z â³äíîøåííÿ y , îòðèìàºìî çàãàëüíèé ³íòåãðàë ð³âíÿííÿ
(11.4.18).
x
Ïðèêëàä 11.4.5. Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ
2 2
2xyy′ = x + y . (11.4.20)
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çàïèøåìî ð³âíÿííÿ (11.4.20) ó âèãëÿä³:
2 2
dy x + y
= , àáî
dx 2xy
( y x)
( )
dy 1 + /
= .
dx 2 y / x
Çä³éñíþþ÷è ï³äñòàíîâêó y = xz, îäåðæóºìî
2 2
dz 1+ z dz 1−z
z + x = àáî x = .
dx 2z dx 2z
 îòðèìàíîìó ð³âíÿíí³ çì³íí³ â³äîêðåìëþþòüñÿ:
dx 2zdz
=
2 .
x 1 − z
2
416 417