ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

ñòå, òî ìè çìîæåìî éîãî ðîçâ’ÿçàòè äâîêðàòíèì ³íòåãðóâàííÿì.
ijéñíî,
dS gt C1
dt = + ,
2
gt
St () = + Ct
1
+ C0. (11.3.4)
2
Öåé çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ì³ñòèòü âæå äâ³ äîâ³ëüí³ ñòàë³.
Àëå ³ âîíè ô³êñóþòüñÿ, ÿêùî ðîçâ’ÿçóâàòè çàäà÷ó ç ïî÷àòêîâèìè
óìîâàìè.
Äëÿ çíàõîäæåííÿ ÷àñòèííîãî ðîçâ’ÿçêó òðåáà ùå çàäàòè
ïî÷àòêîâó øâèäê³ñòü v 0 ³ ïî÷àòêîâèé øëÿõ S 0 (ÿêùî çà
ïî÷àòîê êîîðäèíàò âçÿòè òî÷êó â³ñ³, ÿêà â³äïîâ³äຠïîëîæåííþ
òî÷êè ó ïî÷àòêîâèé ìîìåíò t = 0, òî S = 0 ïðè t = 0).
Îòæå, ³ç ô³çè÷íèõ ³ ãåîìåòðè÷íèõ ì³ðêóâàíü ìàºìî:
S
dS
= 0, = v .
dt
t= 0 t=
0 0
Ö³ óìîâè ïðèâîäÿòü äî òîãî, ùî ³ç çàãàëüíîãî ðîçâ’ÿçêó
âèä³ëÿºòüñÿ ÷àñòèííèé
2
gt
St () = + vt
0 ,
2
ÿêèé â³äïîâ³äຠçàêîíó ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè ï³ä 䳺þ
ñèëè òÿæ³ííÿ ³ ïî÷àòêîâî¿ øâèäêîñò³ v 0 .
Çàóâàæåííÿ 1. Ïðè ðîçâ’ÿçàíí³ ð³âíÿíü ó öüîìó
ïóíêò³ ìè òîðêíóëèñÿ äóæå âàæëèâèõ ïîíÿòü â òåî𳿠äèôåðåíö³àëüíèõ
ð³âíÿíü — çàãàëüí³ òà ÷àñòèíí³ ðîçâ’ÿçêè.
Çàóâàæåííÿ 2. Ìîæíà ïîêàçàòè, ùî çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê
äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ ïåðøîãî ïîðÿäêó ì³ñòèòü
îäíó äîâ³ëüíó ñòàëó (òàêèé ðîçâ’ÿçîê ùå íàçèâàþòü çàãàëüíèì
³íòåãðàëîì), à çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê äèôåðåíö³àëüíîãî
ð³âíÿííÿ n-ãî ïîðÿäêó — n äîâ³ëüíèõ ñòàëèõ.
11.4. ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜͲ вÂÍßÍÍß
ÏÅÐØÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÓ. ÒÅÎÐÅÌÀ ÊÎز
Îçíà÷åííÿ 11.4.1. гâíÿííÿ âèãëÿäó
(x,y(x), y′(x)) = 0 (11.4.1)
íàçèâàºòüñÿ äèôåðåíö³àëüíèì ð³âíÿííÿì ïåðøîãî ïîðÿäêó.
ßêùî öå ð³âíÿííÿ ìîæíà ðîçâ’ÿçàòè â³äíîñíî y′(x), òî
âîíî íàáóâຠâèãëÿäó:
y′(x) =f(x,y(x)). (11.4.2)
Òîä³ ìàòèìåìî ð³âíÿííÿ, ÿêå ðîçâ’ÿçàíå â³äíîñíî ïîõ³äíî¿.
Íàäàë³ áóäåìî ðîçãëÿäàòè ñàìå òàê³ ð³âíÿííÿ. ßê çàçíà÷àëîñÿ
âèùå, îäíå ç ãîëîâíèõ ïèòàíü òåî𳿠äèôåðåíö³àëüíèõ
ð³âíÿíü º ïèòàííÿ ïðî ³ñíóâàííÿ òà ºäèí³ñòü
ðîçâ’ÿçêó. Ïðè ïåâíèõ óìîâàõ âêàçàíà ïðîáëåìà âèð³øåíà.
Òåîðåìà 11.4.1 (Êîø³ ïðî ³ñíóâàííÿ òà ºäèí³ñòü ðîçâ’ÿçêó
äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ 1-ãî ïîðÿäêó). ßêùî
ôóíêö³ÿ f(x, y) âèçíà÷åíà ³ íåïåðåðâíà â îáëàñò³ D ðàçîì ç
÷àñòèííîþ ïîõ³äíîþ ∂f / ∂y, òî äëÿ âñÿêî¿ âíóòð³øíüî¿ òî÷êè
(x 0 , y 0 ) îáëàñò³ D â äåÿêîìó îêîë³ òî÷êè x 0 ³ñíóº ºäèíèé
ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ y′ = f(,)
x y , ÿêèé çàäîâîëüíÿº óìîâó
y(x 0 )=y 0 . (11.4.3)
ßê çàçíà÷àëîñÿ ðàí³øå, óìîâà (11.4.3) íàçèâàºòüñÿ ïî-
÷àòêîâîþ. Öåé òåðì³í ñòຠçðîçóì³ëèì â ïîâí³é ì³ð³, ÿêùî
çì³ííà õ õàðàêòåðèçóº ÷àñ (äèâ. ïðèêë. ï. 11.1).
Ãðàô³ê ðîçâ’ÿçêó äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ íàçèâàºòüñÿ
³íòåãðàëüíîþ êðèâîþ. Ùîá çðîçóì³òè ââåäåíèé òåðì³í, ðîçãëÿíåìî
ïðîñòy çàäà÷ó: çíàéòè ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ y′ =2x.
Äëÿ òîãî ùîá çíàéòè ðîçâ’ÿçîê öüîãî ð³âíÿííÿ, òðåáà ïðî-
³íòåãðóâàòè. Ó ðåçóëüòàò³ îäåðæèìî ñ³ìåéñòâî ðîçâ’ÿçê³â:
ó = õ 2 + ñ (ñ³ìåéñòâî ïàðàáîë) (ðèñ. 11.2).
Êîæíà ç ïàðàáîë º ³íòåãðàëüíîþ êðèâîþ (âîíà óòâîðèëàñÿ
çà äîïîìîãîþ ³íòåãðóâàííÿ). Äëÿ ¿¿ ô³êñóâàííÿ òðåáà
çàäàòè ÿêóñü ïî÷àòêîâó óìîâó. Íàïðèêëàä, òàêó: ïðè õ =0
ó òåæ äîð³âíþº íóëþ. Î÷åâèäíî, ùî òàêà ³íòåãðàëüíà êðèâà
º çâè÷àéíîþ ïàðàáîëîþ ó = õ 2 .
408 409