Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
11.1.3. Ïðî â³ëüíå ïàä³ííÿ ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè<br />
Ìàòåð³àëüíà òî÷êà ìàñè m ïàäຠï³ä 䳺þ ñèëè çåìíîãî<br />
òÿæ³ííÿ. Òðåáà âèçíà÷èòè øëÿõ, ÿêèé ïðîéäåíî òî÷êîþ çà<br />
÷àñ t.<br />
Ïðèéìåìî âåðòèêàëüíó ïðÿìó, âçäîâæ ÿêî¿ ðóõàºòüñÿ<br />
òî÷êà çà â³ñü Îs. Çà äîäàòíèé íàïðÿì îñ³ Îs â³çüìåìî íàïðÿì<br />
äî Çåìë³. Ïðîéäåíèé øëÿõ ÿâëÿº ñîáîþ äåÿêó ôóíêö³þ<br />
S çàëåæíî â³ä ÷àñó t. Íåîáõ³äíî çíàéòè öþ ôóíêö³þ,<br />
òîáòî çíàéòè çàêîí ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè ï³ä 䳺þ ñèëè<br />
çåìíîãî òÿæ³ííÿ.<br />
Ç ìåõàí³êè â³äîìî, ùî ïðè â³ëüíîìó ïàä³íí³ ïðèñêîðåííÿ<br />
g ïàäàþ÷îãî ò³ëà º âåëè÷èíîþ ñòàëîþ ³ íàáëèæåíî äîð³âíþº<br />
9, 8 ì 2<br />
c<br />
. Ç äðóãîãî áîêó, ÿê â³äîìî, ïðèñêîðåííÿ äîð³âíþº<br />
äðóã³é ïîõ³äí³é â³ä øëÿõó. Òåïåð çàñòîñóºìî äðóãèé<br />
çàêîí Íüþòîíà, ùî ïðèâåäå äî ð³âíÿííÿ<br />
2<br />
dS<br />
2<br />
dt<br />
= g . (11.1.7)<br />
11.2. ÎCÍÎÂͲ ÏÎÍßÒÒß ÒÀ ÎÇÍÀ×ÅÍÍß<br />
11.2.1. Îçíà÷åííÿ<br />
Äèôåðåíö³àëüíèì ð³âíÿííÿì íàçèâàºòüñÿ ð³âíÿííÿ, ÿêå<br />
ì³ñòèòü íåâ³äîìó ôóíêö³þ, ïîõ³äí³ â³ä íå¿ ³ íåçàëåæí³ çì³íí³.<br />
Ïîðÿäêîì äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ íàçèâàºòüñÿ íàéâèùèé<br />
ïîðÿäîê ïîõ³äíî¿, ùî âõîäèòü ó íüîãî.<br />
ßêùî â äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ âõîäèòü íåâ³äîìà<br />
ôóíêö³ÿ, ÿêà çàëåæèòü â³ä îäí³º¿ íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿, òî<br />
òàêå ð³âíÿííÿ íàçèâàþòü çâè÷àéíèì.<br />
Äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ n-ãî ïîðÿäêó â çàãàëüíîìó<br />
âèãëÿä³ çàïèñóºòüñÿ òàê:<br />
x ( , yx ( ), y′ ( x), y′′ ( x), ..., y ( x)) = 0. (11.2.1)<br />
Ðîçâ’ÿçêîì äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ (11.2.1) íàçèâàþòü<br />
áóäü-ÿêó n ðàç³â äèôåðåíö³éîâíó ôóíêö³þ, ÿêà, áóäó÷è ï³äñòàâëåíà<br />
â ð³âíÿííÿ (11.2.1), ïåðåòâîðþº éîãî â òîòîæí³ñòü.<br />
( n)<br />
Çàóâàæåííÿ. ßêùî äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ ì³ñòèòü<br />
÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ ïî ê³ëüêîì íåçàëåæíèì çì³ííèì (íàïðèêëàä,<br />
+ = 0 ), òî âîíî íàçèâàºòüñÿ äèôåðåíö³àëüíèì ð³-<br />
2 2<br />
∂ z ∂ z<br />
2 2<br />
∂x<br />
∂y<br />
âíÿíÿì ç ÷àñòèííèìè ïîõ³äíèìè.<br />
Ó äàíîìó êóðñ³ ìè áóäåìî ðîçãëÿäàòè ò³ëüêè çâè÷àéí³<br />
äèôåðåíö³àëüí³ ð³âíÿííÿ òà íàçèâàòè ¿õ áóäåìî ïðîñòî äèôåðåíö³àëüíèìè<br />
ð³âíÿííÿìè.<br />
 òåî𳿠äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ñòàâëÿòüñÿ òà âèð³øóþòüñÿ<br />
òàê³ ïèòàííÿ:<br />
1. ²ñíóº ÷è í³ ðîçâ’ÿçîê äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ?<br />
2. ßêà ìíîæèíà ðîçâ’ÿçê³â?<br />
3. ßê çíàéòè ðîçâ’ÿçîê äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ?<br />
4. ßêùî ðîçâ’ÿçê³â áàãàòî, òî ÿê â³äð³çíèòè îäèí ðîçâ’ÿçîê<br />
â³ä ³íøîãî ³ ÿê âèä³ëèòè êîíêðåòíèé (÷àñòèííèé) ðîçâ’ÿçîê?<br />
5. ßêùî íå âäàºòüñÿ çíàéòè ðîçâ’ÿçîê â ÿâíîìó âèãëÿä³,<br />
òî ÿê âèçíà÷èòè âëàñòèâîñò³ ðîçâ’ÿçê³â?<br />
6. ßêùî íå âäàºòüñÿ ïîáóäóâàòè òî÷íèé ðîçâ’ÿçîê, òî ÿê<br />
ïîáóäóâàòè íàáëèæåíèé ðîçâ’ÿçîê?<br />
7. ßê îö³íèòè ïîõèáêó íàáëèæåíîãî ðîçâ’ÿçêó?<br />
 äåÿêèõ âèïàäêàõ ðîçâ’ÿçîê äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ<br />
ìîæíà çíàéòè â ÿâíîìó âèãëÿä³ ³ òèì ñàìèì â³äïîâ³ñòè íà<br />
çàïèòàííÿ 1 – 4. Ö³ëêîì çðîçóì³ëî, ùî â öèõ âèïàäêàõ<br />
ïèòàííÿ 5 – 7 íå ðîçãëÿäàþòüñÿ.<br />
 íàñòóïíîìó ïóíêò³ ðîçãëÿíåìî ïðèêëàäè äèôåðåíö³àëüíèõ<br />
ð³âíÿíü, ðîçâ’ÿçêè ÿêèõ çíàõîäÿòüñÿ â ÿâíîìó<br />
âèãëÿä³.<br />
11.3. ÏÐÈÊËÀÄÈ ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜÍÈÕ Ð²Â-<br />
ÍßÍÜ, ÐÎÇÂ’ßÇÊÈ ßÊÈÕ ÇÍÀÕÎÄßÒÜ-<br />
Ñß Â ßÂÍÎÌÓ ÂÈÃËßIJ ÇÀ ÄÎÏÎÌÎ-<br />
ÃÎÞ ÅËÅÌÅÍÒÀÐÍÈÕ ÏÐÈÉÎ̲Â<br />
Òóò ìè çíàéäåìî ðîçâ’ÿçêè äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü,<br />
ÿê³ áóëè îòðèìàí³ â ï. 11.1.<br />
Ïðèêëàä 11.3.1. Ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ (11.1.5) áóäåìî øóêàòè<br />
ó âèãëÿä³ Q = ce , äå ñ — äîâ³ëüíà ñòàëà, à k — øóêà-<br />
kt<br />
íà ñòàëà. Íåâàæêî ïîáà÷èòè, ùî ÿêùî ìè ïîêëàäåìî k = ε,<br />
404 405
Change language