Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
ÒÅÌÀ 11<br />
ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜͲ вÂÍßÍÍß<br />
Ó ÿêîñò³ íàéïðîñò³øî¿ åêîíîì³÷íî¿ ìîäåë³ íàêîïè÷åííÿ<br />
êàï³òàëó ðîçãëÿíåìî âèïàäîê, êîëè ôóíêö³¿ P(t, ∆t) ³<br />
U(t, ∆t) âèçíà÷àþòüñÿ òàê:<br />
P(t, ∆t) =αQ(t) ⋅∆t, (11.1.2)<br />
11.1. ÇÀÄÀײ ÏÐÈÐÎÄÎÇÍÀÂÑÒÂÀ, ÙÎ<br />
ÏÐÈÂÎÄßÒÜ ÄÎ ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜÍÈÕ<br />
вÂÍßÍÜ<br />
Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ ð³çíîìàí³òíèõ ïðîöåñ³â òà<br />
ÿâèù ïðèâîäÿòü äî ð³âíÿíü, ÿê³, êð³ì íåçàëåæíèõ çì³ííèõ<br />
³ çàëåæíèõ â³ä íèõ øóêàíèõ ôóíêö³é, ì³ñòÿòü òàêîæ ïîõ³äí³<br />
â³ä íåâ³äîìèõ ôóíêö³é. Òàê³ ð³âíÿííÿ íàçèâàþòüñÿ äèôåðåíö³àëüíèìè.<br />
Ðîçãëÿíåìî äåê³ëüêà íàéïðîñò³øèõ çàäà÷, ùî<br />
ïðèâîäÿòü äî äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü.<br />
11.1.1. Íàéïðîñò³øà ìîäåëü íàêîïè÷åííÿ êàï³òàëó<br />
Äåÿêå ï³äïðèºìñòâî ç ïî÷àòêîâèì êàï³òàëîì Q 0 ïî÷àëî<br />
ä³ÿòè ç ìåòîþ íàêîïè÷åííÿ êàï³òàëó.  ñèëó çì³íè äîõîäó<br />
³ ïîâíèõ çàòðàò íà âèðîáíèöòâî, êàï³òàë ç ÷àñîì çì³íþºòüñÿ.<br />
Òðåáà îïèñàòè äèíàì³êó öüîãî ïðîöåñó.<br />
Íåõàé Q(t) (â ãðîø. îä.) — êàï³òàë ï³äïðèºìñòâà â ìîìåíò<br />
÷àñó t, à Q(t + ∆t) — â ìîìåíò ÷àñó t + ∆t. Òîä³ ð³çíèöÿ<br />
∆ Q = Q( t+ ∆t) −Q( t)<br />
äຠïðèð³ñò êàï³òàëó çà ïðîì³æîê ÷àñó ∆t. ²ç ÷îãî ñêëàäà-<br />
ºòüñÿ öåé ïðèð³ñò? Ïåâíà ð³÷, ³ç äîõîäó çà ïðîì³æîê ÷àñó ∆t<br />
³ ïîâíèõ çàòðàò íà âèðîáíèöòâî. Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó öåé<br />
ïðèð³ñò âèçíà÷àºòüñÿ ôîðìóëîþ<br />
∆Q = P – U, (11.1.1)<br />
äå P = P(t, ∆t) — äîõîä ï³äïðèºìñòâà (â ãðîø. îä.), à<br />
U = U(t, ∆t) — ïîâí³ çàòðàòè ï³äïðèºìñòâà (â ãðîø. îä.) ç<br />
ìîìåíòó ÷àñó t äî ìîìåíòó t + ∆t.<br />
Ñï³ââ³äíîøåííÿ (11.1.1) ³ º, çàãàëüíî êàæó÷è, ð³âíÿííÿ<br />
íàêîïè÷åííÿ êàï³òàëó. ßñíî, ùî äëÿ éîãî ðîçâ’ÿçàííÿ òðåáà<br />
çíàòè ôóíêö³¿ P(t, ∆t) ³ U(t, ∆t). Öÿ ïðîáëåìà º îäí³ºþ ç<br />
âàæëèâèõ â òåî𳿠ìîäåëþâàííÿ åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â. Íàâ³òü<br />
ó êîíêðåòíîìó âèïàäêó âèçíà÷åííÿ öèõ ôóíêö³é ïîòðåáóº<br />
êîï³òêî¿ ³íòåëåêòóàëüíî¿ ïðàö³.<br />
U(t, ∆t) =βQ(t) ⋅∆t. (11.1.3)<br />
Äîäàòí³ êîåô³ö³ºíòè α ³ β õàðàêòåðèçóþòü â³äïîâ³äíî<br />
³íòåíñèâí³ñòü çì³íè äîõîäó ³ ïîâíèõ âèòðàò âèðîáíèöòâà.<br />
Âðàõîâóþ÷è ïðèïóùåííÿ (11.1.2) – (11.1.3), ñï³ââ³äíîøåííÿ<br />
(11.1.1) çàïèøåìî ó âèãëÿä³:<br />
∆Q = ε Q(t) ∆t, (11.1.4)<br />
äå ε=α−β.<br />
Äàë³, ó ð³âíîñò³ (11.1.4) ïîä³ëèìî íà ∆t ≠ 0 ³ ïåðåéäåìî<br />
äî ãðàíèö³ ïðè ∆t → 0.<br />
Ó ðåçóëüòàò³ îòðèìàºìî ð³âíÿííÿ<br />
dQ<br />
=ε Q . (11.1.5)<br />
dt<br />
11.1.2. Ïðî ðîçïàä ðàä³þ<br />
Âñòàíîâëåíî, ùî øâèäê³ñòü ðîçïàäó ðàä³þ ïðÿìî ïðîïîðö³éíà<br />
éîãî ê³ëüêîñò³ â äàíèé ìîìåíò. Íåîáõ³äíî âèçíà÷èòè<br />
çàêîí çì³íè ìàñè ðàä³þ â çàëåæíîñò³ â³ä ÷àñó.<br />
Íåõàé M(t) — ìàñà ðàä³þ â ìîìåíò ÷àñó t. Øâèäê³ñòü<br />
ðîçïàäó ïðè öüîìó äîð³âíþº dM dt .<br />
Çà óìîâîþ çàäà÷³ âñòàíîâëåíî çâ’ÿçîê ì³æ ôóíêö³ºþ<br />
M(t) ³ ¿¿ ïîõ³äíî¿<br />
dM<br />
=− kM , (11.1.6)<br />
dt<br />
äå k — êîåô³ö³ºíò ïðîïîðö³éíîñò³ (k > 0). Çíàê ”–“ ñòàâèòüñÿ<br />
â ð³âíÿííÿ (11.1.6), òîìó ùî ïðè çðîñòàíí³ ÷àñó ìàñà<br />
dM<br />
ðàä³þ ñïàäຠ³, ÿê â³äîìî (äèâ. ï. 7.3.2), ïðè öüîìó 0<br />
dt < .<br />
402 403
Change language