ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Îñíîâí³ âëàñòèâîñò³ ñêàëÿðíîãî äîáóòêó òàê³:
r r r r
1. a⋅ b = b⋅a
.
r r r r r r
2. λ( ab ⋅ ) = ( λa) ⋅ b= a⋅( λb)
.
r r r r r r r
3. a⋅ ( b+ c)
= a⋅ b+ a⋅c
.
r r r r
r
4. a⋅a
≥0, a⋅ a = 0 òîä³ ³ ò³ëüêè òîä³, êîëè a = 0 .
Âåêòîðè, ñêàëÿðíèé äîáóòîê ÿêèõ äîð³âíþº íóëþ, íàçèâàþòüñÿ
îðòîãîíàëüíèìè. Ëåãêî ïîáà÷èòè, ùî âåêòîðè áàçèñó
r r r
r r
e1, e2,..., en
ïîïàðíî îðòîãîíàëüí³, òîáòî ei
⋅ e j
= 0 ïðè i ≠ j, à
r r
ei
⋅ e j
= 1 ïðè i = j. Äëÿ äâîâèì³ðíèõ ³ òðèâèì³ðíèõ ïðîñòîð³â
ïîíÿòòÿ îðòîãîíàëüíîñò³ òà ïåðïåíäèêóëÿðíîñò³ çá³ãàþòüñÿ.
ßêùî â ë³í³éíîìó ïðîñòîð³ âèçíà÷åíî ñêàëÿðíèé äîáóòîê
äâîõ âåêòîð³â çà ïðàâèëîì (2.1.4) ç âëàñòèâîñòÿìè 1 – 4, òî
â³í íàçèâàºòüñÿ åâêë³äîâèì.
 åâêë³äîâîìó ïðîñòîð³ â³äñòàíü ì³æ äâîìà òî÷êàìè
À (õ 1 , õ 2 ,…, õ n ) ³  (ó 1 , ó 2 ,…, y n ) âèçíà÷àºòüñÿ ÿê äîâæèíà
ur
AB = a = y1 −x1, y2 −x2,..., y n
−x n
, òîáòî
âåêòîðà ( )
uuuur r r r r2
2 2 2
AB = AB = a = a ⋅ a = a = y − x + y − x + + y −x .
( ) ( ) ( )
1 1 2 2
...
n n
2.1.7. Ïðîñò³ð òîâàð³â, âåêòîð ö³í òà âàðò³ñòü íàáîðó
òîâàð³â
ßê â³äîìî, â åêîíîì³ö³ ï³ä òîâàðîì ðîçó쳺òüñÿ äåÿêå
áëàãî àáî ïîñëóãà, ÿê³ íàä³éøëè â ïðîäàæ ó âèçíà÷åíèé ÷àñ
³ ó âèçíà÷åíîìó ì³ñö³. Áóäåìî ââàæàòè, ùî º ï ð³çíèõ òîâàð³â.
×åðåç õ ³ ïîçíà÷èìî ê³ëüê³ñòü ³-ãî òîâàðó, òîä³ íàá³ð
òîâàð³â ìîæíà ïîçíà÷èòè ÷åðåç n-âèì³ðíèé âåêòîð
Õ=(õ 1 , ..., õ n ). Ìíîæèíà âñ³õ íàáîð³â òîâàð³â íàçèâàºòüñÿ
ïðîñòîðîì òîâàð³â. Öåé ïðîñò³ð ïîçíà÷èìî áóêâîþ Ñ. Îêðåì³
âåêòîðè áóäåìî íàçèâàòè åëåìåíòàìè ïðîñòîðó Ñ.
Îñê³ëüêè ê³ëüê³ñòü òîâàð³â íå ìîæå áóòè â³ä’ºìíîþ, òî î÷åâèäíî,
ùî ïðîñò³ð Ñ º ï³äìíîæèíîþ ë³í³éíîãî ïðîñòîðó âåêòîð³â
ðîçì³ðíîñò³ n. Ïðîñò³ð Ñ ñêëàäàºòüñÿ ³ç âåêòîð³â,
êîìïîíåíòè ÿêèõ º íåâ³ä’ºìí³ ÷èñëà. Ó ïðîñòîð³ òîâàð³â Ñ
ìîæíà äîäàâàòè âåêòîðè ³ ìíîæèòè ¿õ íà íåâ³ä’ºìí³ ä³éñí³
÷èñëà (íà ïðàêòèö³ âåêòîðè ïîìíîæóþòüñÿ íà íåâ³ä’ºìí³
ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà).
Ïðèïóñòèìî òàêîæ, ùî êîæíèé òîâàð ìຠö³íó. Î÷åâèäíî,
ùî óñ³ ö³íè º ñòðîãî äîäàòíèìè.
Íåõàé ö³íà îäèíèö³ ³-ãî òîâàðó º ð ³ , òîä³ âåêòîð
P r =(ð 1 , ..., ð n ) º âåêòîð ö³í. Íàá³ð òîâàð³â ÿê âåêòîð ìຠòó
ñàìó ðîçì³ðí³ñòü, ùî ³ âåêòîð ö³í. Äëÿ íàáîðó òîâàð³â
X r =(õ 1 , ..., õ n ) ³ âåêòîðà ö³í ¿õ ñêàëÿðíèé äîáóòîê º ÷èñëî
PX
rr = p 1 x 1 +...+ p n x n , ÿêå íàçèâàºòüñÿ ö³íîþ íàáîðó, àáî éîãî
âàðò³ñòþ, ³ ïîçíà÷àºòüñÿ ñèìâîëîì ñ ( X r ) .
Ðîçãëÿíåìî òàêîæ ïîíÿòòÿ ³íòåíñèâíîñò³ ðîáîòè ï³äïðè-
ºìñòâà. Ïðèïóñòèìî, ùî ï³ä âïëèâîì äåÿêèõ ôàêòîð³â (çîâí³øí³õ
³ âíóòð³øí³õ) âèðîáíèöòâî êîæíîãî ç òîâàð³â çá³ëüøó-
ºòüñÿ àáî çìåíøóºòüñÿ â λ ðàç³â. Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ïðîöåñ³â
òàêîãî òèïó ââåäåìî ïàðàìåòð λ 1 , ÿêèé õàðàêòåðèçóº
³íòåíñèâí³ñòü ðîáîòè ï³äïðèºìñòâà é îá÷èñëþºòüñÿ òàê:
λ
1
= ⎨
⎪λ
⎧λ,
ÿêùî âèðîáíèöòâî òîâàð³â â λ ðàç³â çá³ëüøóºòüñÿ,
⎪
1 , ÿêùî âèðîáíèöòâî òîâàð³â â λ ðàç³â çìåíøóºòüñÿ.
⎩
Ïðè λ 1 =1 áóäåìî ââàæàòè, ùî ³íòåíñèâí³ñòü ðîáîòè ï³äïðèºìñòâà
íîðìàëüíà (çâè÷àéíà). ²íø³ ³íòåíñèâíîñò³ ïîð³âíþþòüñÿ
ç íîðìàëüíîþ. Òàêèì ÷èíîì, ÿêùî ï³äïðèºìñòâî
ïðè íîðìàëüí³é ³íòåíñèâíîñò³ âèðîáëÿº âåêòîð òîâàð³â
X r =(õ,, ... õ n ), òî ïðè ³íòåíñèâíîñò³ λ 1 (λ 1 ≠1) áóäå âèðîáëÿòè
λ 1 X r òîâàð³â.
Àíàëîã³÷íî ìîæíà ââåñòè ïîíÿòòÿ ³íòåíñèâíîñò³ ïðîäàæó
òîâàð³â.
Ïðèêëàä 2.1.4. ʳîñê çà äåíü ïðîäຠãàçåòè 50 íàéìåíóâàíü.
Íàâåä³òü ìîæëèâ³ âàð³àíòè ââåäåííÿ åëåìåíò³â ïðîñòîðó
òîâàð³â.
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Îáìåæèìîñÿ ò³ëüêè äâîìà âàð³àíòàìè:
1 0 . Ó ÿêîñò³ åëåìåíòà ïðîñòîðó Ñ ìîæíà âçÿòè âåêòîð
ðîçì³ðíîñò³ 50, äå êîìïîíåíòè âåêòîðà ÿâëÿþòü ñîáîþ ê³ëüê³ñòü
ïðîäàíèõ ãàçåò ïî 50 íàéìåíóâàííÿì êîæíî¿.
38 39