ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Ðèñ. 10.21
³äîìèé Îìó ãðàô³ê ã³ïåðáîëè íàøòîâõíóâ íà äóìêó, ùî
U
øóêàíà çàëåæí³ñòü ìîæå áóòè çîáðàæåíà ó âèãëÿä³ I = .
R
Äîäàòêîâ³ åêñïåðèìåíòè ³ ðîçäóìè âèÿâèëè äèâî: U äîð³âíþâàëî
çíà÷åííþ íàïðóãè.
Íàâåäåíà ³ñòîð³ÿ ìîæëèâî íå º ïðàâäîþ, àëå, ïîãîäüòåñÿ
÷èòà÷ó, ùî âîíà º äóæå ïðàâäîïîä³áíîþ.
10.8.1. Ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ó âèïàäêó ìîæëèâî¿
ë³í³éíî¿ çàëåæíîñò³ çì³ííèõ x òà y
ϳñëÿ ïðîâåäåííÿ åêñïåðèìåíò³â âèÿâèëîñÿ, ùî òî÷êè
(êîîðäèíàòè òî÷îê âçÿòî ç òàáëèö³) M i , i = 1 , n ãðóïóþòüñÿ
âçäîâæ äåÿêîãî íàïðÿìó, íàïðèêëàä ÿê íà ðèñ. 10.22.
Ðèñ. 10.22
Òîä³ ïðèðîäíî øóêàòè àíàë³òè÷íó çàëåæí³ñòü çì³ííèõ x
ó âèãëÿä³ ë³í³éíî¿ ôóíêö³¿
y = kx + b. (10.8.2)
Îòæå, çàäà÷à çâîäèòüñÿ äî ïîøóêó òàêèõ k ³ b, ùîá ïðÿìà,
ÿêà çàäàíà ð³âíÿííÿì (10.8.2), íàéêðàùèì ÷èíîì íàáëèæàëàñÿ
äî óñ³õ òî÷îê M i , i = 1 , n.
Ïåðåïèøåìî (10.8.2) ó âèãëÿä³:
kx + b – y = 0. (10.8.3)
Îñê³ëüêè íàø³ òî÷êè, ÿê ïðàâèëî, íå ëåæàòü íà ïðÿì³é
(10.8.3), òî ïðè ï³äñòàíîâö³ â öå ð³âíÿííÿ ¿õ êîîðäèíàò â
ïðàâ³é ÷àñòèí³, âçàãàë³ êàæó÷è, îòðèìàºìî íå íóëü, à äåÿê³
÷èñëà:
kxi + b − yi =ε i, i = 1, n. (10.8.4)
×èñëà ε i , i = 1 , n íàçèâàþòü ïîõèáêàìè, àáî íåâ’ÿçêàìè.
Òåïåð âèíèêຠ÷èñòî ìàòåìàòè÷íà ïðîáëåìà: òðåáà ï³ä³áðàòè
êîåô³ö³ºíòè k ³ b òàêèì ÷èíîì, ùîá ö³ ïîõèáêè çà
ìîæëèâ³ñòþ áóëè ìàëèìè çà àáñîëþòíîþ âåëè÷èíîþ.
Ìîæëèâ³ òàê³ âàð³àíòè:
1) äîñë³äèòè íà åêñòðåìóì ôóíêö³þ S( k,
b)
2) äîñë³äèòè íà åêñòðåìóì ôóíêö³þ S( k,
b)
n
i
i=
1
n
i
i=
1
n
i
i=
1
= ∑ ε ;
= ∑ ε ;
n
2
3) äîñë³äèòè íà åêñòðåìóì ôóíêö³þ S( k,
b) = ∑ ε .
Âàð³àíòè 1) – 2) íå äîö³ëüíî çä³éñíþâàòè, îñê³ëüêè ó ïåðøîìó
âèïàäêó ∑ εi
ìîæå áóòè ìàëîþ ³ íàâ³òü äîð³âíþâàòè
i = 1
íóëþ ïðè çíà÷íîìó ðîçêèä³ åìï³ðè÷íèõ òî÷îê M i (x i , y i ), à â
n
äðóãîìó âèïàäêó ôóíêö³ÿ ∑ εi
ïîçáàâëåíà âêàçàíîãî íåäîë³êó,
ïðîòå ìຠ³íøèé — âîíà íå º äèôåðåíö³éîâíîþ, ùî
i = 1
ñóòòºâî óñêëàäíþº ðîçâ’ÿçàííÿ ïðîáëåìè.
Òðåò³é âàð³àíò íàéá³ëüø ïðèâàáëèâèé, îñê³ëüêè ïîçáàâëåíèé
íåäîë³ê³â ïåðøèõ äâîõ âàð³àíò³â.
Îòæå, ðîçãëÿíåìî ôóíêö³þ
n n
2
( , ) = ∑ ε = ∑( + − )
2
i i i
i= 1 i=
1
S k b kx b y , (10.8.5)
396 397