ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Çàóâàæèìî, ùî ïîíÿòòÿ åêñòðåìóìó ôóíêö³¿ íîñèòü ëîêàëüíèé
õàðàêòåð. ̳í³ìóì ôóíêö³¿ ìîæå áóòè á³ëüøå ìàêñèìóìó
(ðèñ. 10.15).
Ðèñ. 10.15
Òåîðåìà 10.6.1 (íåîáõ³äíà óìîâà åêñòðåìóìó ôóíêö³¿
äâîõ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ). ßêùî ôóíêö³ÿ z = f(x, y) â òî÷ö³
M 0 (x 0 , y 0 ) ìຠåêñòðåìóì, òî â ö³é òî÷ö³ ÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ íå
³ñíóþòü àáî äîð³âíþþòü íóëþ.
Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ) ôóíêö³ÿ z = f(x, y)
ìຠåêñòðåìóì, òîä³ ³ ôóíêö³¿ ϕ = f(x, y 0 ), ψ = f(x 0 , y) ìàþòü
åêñòðåìóìè â³äïîâ³äíî â òî÷êàõ x 0 ³ y 0 . Òàêèì ÷èíîì (äèâ.
ï. 7.13.1), ïîõ³äí³ öèõ ôóíêö³é ó äàíèõ òî÷êàõ àáî íå ³ñíóþòü,
àáî äîð³âíþþòü íóëþ:
( x ) z ( x y )
ϕ ′ = ′ , = 0,
0 x 0 0
( y ) z ( x y )
ψ ′ = ′ , = 0.
0 y 0 0
Òåîðåìó äîâåäåíî.
Òî÷êè, â ÿêèõ ÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ íå ³ñíóþòü àáî äîð³âíþþòü
íóëþ, íàçèâàþòüñÿ êðèòè÷íèìè, àáî “òî÷êàìè ï³äîçð³ëèìè
íà åêñòðåìóì”.
Çàóâàæåííÿ 1. Òî÷êè, â ÿêèõ âèêîíóþòüñÿ óìîâè
( x y)
z′ , = 0, (10.6.1)
x
( x y)
z′ , = 0, (10.6.2)
y
íàçèâàþòüñÿ ñòàö³îíàðíèìè. ¯õ òàêîæ ìîæíà íàçèâàòè êðèòè÷íèìè
òî÷êàìè, îñê³ëüêè âîíè ÿâëÿþòü ñîáîþ ï³äìíîæèíó
ìíîæèíè êðèòè÷íèõ òî÷îê. Äëÿ çíàõîäæåííÿ ñòàö³îíàðíèõ
òî÷îê ð³âíÿííÿ (10.6.1) – (10.6.2) ðîçãëÿäàþòüñÿ ÿê
ñèñòåìà.
Çàóâàæåííÿ 2. Ó âèïàäêó ñòàö³îíàðíèõ òî÷îê ñôîðìóëüîâàíà
òåîðåìà º äâîâèì³ðíèì àíàëîãîì òåîðåìè Ôåðìà.
Çàóâàæåííÿ 3. Äëÿ çíàõîäæåííÿ ñòàö³îíàðíèõ òî÷îê
äèôåðåíö³éîâíî¿ ôóíêö³¿ n çì³ííèõ òðåáà ðîçâ’ÿçóâàòè ñèñòåìó
n ð³âíÿíü, ÿêà àíàëîã³÷íà ñèñòåì³ (10.6.1) – (10.6.2)
(óñ³ ÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ ïåðøîãî ïîðÿäêó òàêî¿ ôóíêö³¿ â ñòàö³îíàðí³é
òî÷ö³ äîð³âíþþòü íóëþ).
Çàçíà÷èìî òåïåð, ùî óìîâè (10.6.1) – (10.6.2) àáî óìîâè
íå ³ñíóâàííÿ ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ º ò³ëüêè íåîáõ³äíèìè.
Ùîá ó öüîìó ïåðåêîíàòèñÿ ðîçãëÿíåìî ïðèêëàäè.
Ïðèêëàä 10.6.1. z = x 2 – y 2 .
Ãðàô³ê ö³º¿ ôóíêö³¿ (ïîâåðõíÿ) çîáðàæåíî íà ðèñ. 10.16.
Ðèñ. 10.16
Ïîâåðõíÿ ôóíêö³¿ z = x 2 – y 2 íàãàäóº ñ³äëî. Äîñë³äèìî ¿¿
íà åêñòðåìóì. Ñïî÷àòêó çíàéäåìî ñòàö³îíàðí³ òî÷êè:
z′ = 2x= 0⇒ x = 0
x
z′ =− 2y = 0⇒ y = 0.
y
380 381