ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Öÿ ñèñòåìà ð³âíÿíü ìຠò³ëüêè íóëüîâèé ðîçâ’ÿçîê:
r r r
λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0. Îòæå, âåêòîðè a1, a2,
a ë³í³éíî íåçàëåæí³.
3
2.1.5. Áàçèñ ë³í³éíîãî âåêòîðíîãî ïðîñòîðó
Áàçèñîì ë³í³éíîãî âåêòîðíîãî ïðîñòîðó íàçèâàºòüñÿ
áóäü-ÿêà óïîðÿäêîâàíà ñóêóïí³ñòü âåêòîð³â, ÿêà çàäîâîëüíÿº
âèìîãè:
1) óñ³ âåêòîðè ö³º¿ ñóêóïíîñò³ ë³í³éíî íåçàëåæí³;
2) áóäü-ÿêèé âåêòîð öüîãî ïðîñòîðó º ë³í³éíà êîìá³íàö³ÿ
äàíî¿ ñóêóïíîñò³ âåêòîð³â.
 n-âèì³ðíîìó ë³í³éíîìó ïðîñòîð³ (àáî ë³í³éíîìó ïðîñòîð³
ðîçì³ðíîñò³ n) áóäü-ÿêà ñóêóïí³ñòü ³ç n ë³í³éíî íåçàëåæíèõ
âåêòîð³â óòâîðþº áàçèñ ïðîñòîðó. Çâè÷àéíî â ÿêîñò³
áàçèñó îáèðàþòü íàéá³ëüø ïðîñòó ñóêóïí³ñòü âåêòîð³â. Íàïðèêëàä,
r r r
e1 = (1,0,...,0), e2
= (0,1,...,0),..., e n
= (0,0,...,1) .
Òåîðåìà 2.1.1.  n-âèì³ðíîìó ë³í³éíîìó ïðîñòîð³ ñèñòåìà
âåêòîð³â e1, e2, ..., en
ñêëàäຠáàçèñ öüîãî ïðîñòîðó.
r r r
r r r
Äîâåäåííÿ. 1) Ïîêàæåìî, ùî âåêòîðè e1, e2, ..., en
ë³í³éíî
íåçàëåæí³. Äëÿ öüîãî ñë³ä äîâåñòè, ùî ñï³ââ³äíîøåííÿ
r r r
λ
1e1 +λ
2 e2
+ ... +λ
n
en
= 0
(2.1.1)
ìຠì³ñöå ò³ëüêè ïðè λ 1 = λ 2 =…= λ n = 0. ²ç (2.1.1) ç óðàõóâàííÿì
÷èñëîâèõ çíà÷åíü êîìïîíåíò³â âåêòîð³â å 1 , å 2 ,…,å n ,
âèïëèâàº
λ 1 ⋅1=0, λ 2 ⋅1=0,…, λ n ⋅1=0, òîáòî λ 1 = λ 2 =…=λ n =0.
r
2) Áóäü-ÿêèé âåêòîð a = ( a1, a2,..., a n
)
r r r
º ë³í³éíîþ êîìá³íàö³ºþ
âåêòîð³â e1, e2,..., e ç êîåô³ö³ºíòàìè à
n
1 , à 2 ,…,à n . ijéñíî,
r r r
ae 1 1
+ ... + ae
n n
= a1(1,0,...,0) + ... + an(0,0,...,1) = ( a1, a2,..., an)
= a. (2.1.2)
r r r
Îòæå, ñèñòåìà e1, e2,..., en
º áàçèñîì. Öåé áàçèñ íàçèâàþòü
îðòîíîðìîâàíèì, à ð³âí³ñòü (2.1.2) — ðîçêëàäàííÿì âåêòîðà
a r â ë³í³éíîìó ïðîñòîð³ çà îðòîíîðìîâàíèì áàçèñîì.
Ó òðèâèì³ðíîìó ïðîñòîð³ äëÿ îðòîíîðìîâàíèõ
r r
âåêòîð³â
áàçèñó çàñòîñîâóþòü òàêîæ ïîçíà÷åííÿ i = (1,0,0), j = (0,1,0) ,
r
k = (0,0,1) . Ðîçêëàäàííÿ âåêòîðà a r â òðèâèì³ðíîìó ïðîñòîð³
çà îðòîíîðìîâàíèì áàçèñîì ìຠâèãëÿä:
r r r r r r r
a = a1i+ a2 j+ a3k = axi+ ay j+
azk
,
äå à 1 , à 2 , à 3 ³ à õ , à ó , à z º ð³çí³ ïîçíà÷åííÿ ïðîåêö³é âåêòîðà
a r
íà îñ³ êîîðäèíàò (Oõ, Oó, Oz).
Ìíîæèíà âåêòîð³â äåÿêîãî ë³í³éíîãî ïðîñòîðó íàçèâàºòüñÿ
ë³í³éíèì ï³äïðîñòîðîì (ë³í³éíèì ìíîãîâèäîì), ÿêùî
îïåðàö³¿ äîäàâàííÿ, ð³çíèö³ ³ ìíîæåííÿ íà ÷èñëî äàþòü
âåêòîð ³ç ö³º¿ æ ìíîæèíè. Òàê, äâîâèì³ðíèé ïðîñò³ð º ï³äïðîñòîðîì
òðèâèì³ðíîãî ïðîñòîðó.
2.1.6. Ñêàëÿðíèé äîáóòîê äâîõ âåêòîð³â
r Íà ïëîùèí³ r ñêàëÿðíèì äîáóòêîì äâîõ âåêòîð³â
a = ( a1, a2)
³ b = ( b1, b2)
íàçèâàºòüñÿ ÷èñëî, ÿêå äîð³âíþº äîáóòêó
¿õ äîâæèí íà êîñèíóñ êóòà ì³æ íèìè:
r r r r r r r r
a⋅ b = a b = a b a b. (2.1.3)
( , ) cos( )
∧
Ç êóðñó ìàòåìàòèêè ñåðåäíüî¿ øêîëè â³äîìî, ùî íà ïëîùèí³
îðòè (îðòîíîðìîâàí³ âåêòîðè) i = (1, 0), j = (0,1) âçàºìíî
r r
ïåðïåíäèêóëÿðí³. Òîä³ ç (2.1.3) âèïëèâຠùå îäíå îçíà÷åííÿ
ñêàëÿðíîãî äîáóòêó äâîõ âåêòîð³â a = ( a1, a
r
r
2)
³ b = ( b1, b
2)
.
r r r r r r r r
ab ⋅ = ( ai+ a j)( bi+ b j)
= aa
1 2 1 2 1 2
+ bb
1 2; i= (1,0), j = (0,1) .
Àíàëîã³÷íî ââîäèòüñÿ ñêàëÿðíèé äîáóòîê ³ â n-âèì³ðíîìó
ïðîñòîð³ ðîçì³ðíîñò³ n>2.
Äëÿ r n-âèì³ðíîãî ïðîñòîðó r ñêàëÿðíèé äîáóòîê äâîõ âåêòîð³â
a = ( a1, a2,..., a n
) ³ b = ( b1, b2,..., b n
) âèçíà÷àºòüñÿ (çà àíàëî㳺þ
ç îñòàííüîþ ð³âí³ñòþ) òàêèì ÷èíîì:
r r r r
ab ⋅ = ab , = ab+ ab+ ... + ab
n n . (2.1.4)
( ) 1 1 2 2
36 37