ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

ùî íàçèâàºòüñÿ ãðà䳺íòîì ôóíêö³¿ z = f(x, y) â òî÷ö³
M 0 (x 0 , y 0 ). Òóò i r , r
j â³äîì³ îðòè.
Ïîìíîæèìî òåïåð ñêàëÿðíî ö³ äâà âåêòîðè, ïðè÷îìó äâîìà
ñïîñîáàìè (äèâ. ï. 2.1.6). Ó ðåçóëüòàò³ îòðèìàºìî
r
grad z ⋅ e = z′ x ( x0, y0) ⋅cos α + z′
y ( x0, y0)
⋅sin
α
M = M
, (10.5.2)
0
r
r
grad z ⋅ e = grad z ⋅ e ⋅cos
ϕ
M = M0 M = M
,
0
(10.5.3)
äå ϕ — êóò ì³æ öèìè âåêòîðàìè. Îñê³ëüêè
r
e = 1 , òî ³ç
(10.5.2) – (10.5.3) áóäåìî ìàòè
∂z ( x
0, y
0) = grad z ( x
0, y
0)
⋅cosϕ. (10.5.4)
∂e
Ïðîñòèé àíàë³ç ôîðìóëè (10.5.4) ïîêàçóº, ùî íàéá³ëüøå
çíà÷åííÿ ïîõ³äíî¿ çà íàïðÿìîì e r â òî÷ö³ M 0 áóäå òîä³,
êîëè grad z ≠ 0 ³ íàïðÿì âåêòîðà e r ñï³âïàäຠç íàïðÿìîì
ãðà䳺íòà. Ïðè öüîìó âåëè÷èíà íàéá³ëüøîãî çðîñ-
M = M
0
òàííÿ ôóíêö³¿ z îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ
∂z x y z x y z x y z x y
∂e
( ) ( )( ) ( ( )) 2
( ( )) 2
0, 0
= grad
0, 0
= ′
x 0, 0
+ ′
y 0,
0
. (10.5.5)
Çàóâàæåííÿ 1. Çã³äíî ç ôîðìóëîþ (10.5.1) ãðà䳺íòîì
ôóíêö³¿ z = f(x, y) â òî÷ö³ (x 0 , y 0 ) º âåêòîð, êîîðäèíàòè
ÿêîãî äîð³âíþþòü â³äïîâ³äíî z′ x ( x0,
y0)
, z′ y ( x0,
y0)
.
Àíàëîã³÷íî îçíà÷àºòüñÿ ãðà䳺íò ôóíêö³¿ â³ä n íåçàëåæíèõ
çì³ííèõ. Ñôîðìóëþºìî, íàïðèêëàä, îçíà÷åííÿ ãðà䳺íòà
äëÿ ôóíêö³¿ â³ä òðüîõ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ.
Íåõàé ôóíêö³ÿ u = f(x, y, z) â òî÷ö³ Q 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) äèôåðåíö³éîâíà.
Òîä³ â ö³é òî÷ö³ ³ñíóº ãðà䳺íò, ÿêèé âèçíà÷àºòüñÿ
çà ôîðìóëîþ
grad u x , y , z = u x , y , z ⋅ i r + u x , y , z ⋅ j r
+ u x , y , z ⋅k,
r
( ) ′ ( ) ′ ( ) ′( )
0 0 0 x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0
äå i r , j r ³ k r çíàéîì³ íàì îðòè.
Íàðåøò³ ìîæíà ñêàçàòè, ùî ïðîáëåìà ïîøóêó êëàñó
ôóíêö³é (äèâ. ï. 10.3), äëÿ ÿêèõ ìîæíà ãàðàíòîâàíî çíàéòè
íàïðÿì íàéá³ëüøîãî çðîñòàííÿ ôóíêö³¿ ³ ñàìó øâèäê³ñòü ¿¿
çðîñòàííÿ, âèð³øåíà, öå êëàñ äèôåðåíö³éîâíèõ ôóíêö³é.
Äèôåðåíö³éîâí³ ôóíêö³¿ ìàþòü äóæå âàæëèâ³ âëàñòèâîñò³.
Çîêðåìà, ÿêùî ôóíêö³ÿ äèôåðåíö³éîâíà, òî âîíà íåïåðåðâíà
³ ³ñíóþòü ÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ çà áóäü-ÿêèì íàïðÿìîì. Ó
çâ’ÿçêó ç öèì ïîñòຠïèòàííÿ ïðî âèÿâëåííÿ äîñòàòí³õ
óìîâ, ÿê³ çàáåçïå÷óþòü äèôåðåíö³éîâí³ñòü ôóíêö³¿. ³äïîâ³äü
íà çàïèòàííÿ äຠòàêà òåîðåìà.
Òåîðåìà 10.5.1 (äîñòàòí³ óìîâè äèôåðåíö³éîâíîñò³
ôóíêö³¿). Íåõàé ôóíêö³ÿ z = f(x, y) â äåÿêîìó δ-îêîë³ òî÷êè
M 0 (x 0 , y 0 ) ìຠñê³í÷åíí³ ïîõ³äí³ z′ ( x,
y)
³ z ( x,
y)
x
′ , ÿê³ íåïåðåðâí³
â ñàì³é òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ). Òîä³ ôóíêö³ÿ z = f(x, y) äèôåðåíö³éîâíà
â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ).
Äîâåäåííÿ. Ðîçãëÿíåìî ïîâíèé ïðèð³ñò ôóíêö³¿ â òî÷ö³,
ÿêèé ìîæåìî çîáðàçèòè ó âèãëÿä³:
( 0, 0) ( 0
,
0 ) ( 0,
0)
∆ zx y = fx +∆ xy +∆y − fx y =
( f( x0 x, y0 y) f( x0,
y0
y)
)
= +∆ +∆ − +∆ +
( f( x0, y0 y) f( x0,
y0)
)
+ +∆ − , (10.5.6)
äå ∆x ≠ 0 ³ ∆y ≠ 0.
Âèðàç, ùî ñòî¿òü ó ïåðøèõ äóæêàõ, º ïðèðîñòîì ôóíêö³¿
f(x, y 0 + ∆y) îäí³º¿ çì³ííî¿ x â òî÷ö³ x 0 . Îñê³ëüêè öÿ ôóíêö³ÿ
äèôåðåíö³éîâíà â δ-îêîë³ òî÷êè x 0 (âíàñë³äîê ³ñíóâàííÿ
÷àñòèííî¿ ïîõ³äíî¿ f′ x ( x,
y)
â δ-îêîë³ òî÷êè M 0 (x 0 , y 0 )), òî
äî ïðèðîñòó ö³º¿ ôóíêö³¿ ìîæíà çàñòîñóâàòè òåîðåìó Ëàãðàíæà.
Çã³äíî ç ö³ºþ òåîðåìîþ áóäåìî ìàòè
( , ) ( , ) ′ ( , )
f x +∆ x y +∆y − f x y +∆ y = f x +θ∆ x y +∆y ∆ x, (10.5.7)
0 0 0 0 x 0 1 0
äå 0 < θ 1