ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Ïîõ³äíà çà íàïðÿìîì âåêòîðà e r â òî÷ö³ M 0 âèðàæàº
øâèäê³ñòü çðîñòàííÿ ôóíêö³¿ z = f(x, y) çà òèì ñàìèì íàïðÿìîì.
Çàóâàæåííÿ. ßêùî íàïðÿì âåêòîðà e r ñï³âïàäຠç
äîäàòíèì íàïðÿìîì îñ³ Ox (Oy), òî ïîõ³äíà çà íàïðÿìîì e r
â òî÷ö³ M 0 ïåðåòâîðþºòüñÿ â ÷àñòèííó ïîõ³äíó z′
x ( x0,
y0)
( z′ y ( x0,
y0)
).
Òåîðåìà 10.4.3 (ïðî ïîõ³äíó çà íàïðÿìîì). ßêùî ôóíêö³ÿ
z = f(x, y) äèôåðåíö³éîâíà â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ), òî â ö³é
òî÷ö³ âîíà ìຠïîõ³äíó çà áóäü-ÿêèì íàïðÿìîì e r , ïðè öüîìó
âèêîíóºòüñÿ ð³âí³ñòü
∂z ∂z ∂z
( x0, y0) = ( x0, y0) cos α+ ( x0, y0)
sinα. ∂e ∂x ∂y
(10.4.9)
Ä î â å ä å í í ÿ. ßêùî ôóíêö³ÿ z = f(x, y) äèôåðåíö³éîâíà â
òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ), òî â ö³é òî÷ö³ ¿¿ ïîâíèé ïðèð³ñò ìຠâèãëÿä
(10.4.1).
Òîä³ â³äíîøåííÿ
çàïèñàòè òàê:
àáî
( 0,
0)
∆z
ρ
ç óðàõóâàííÿì (10.4.1) ìîæíà
∆z x y ∂z ∆x ∂z ∆y ∆x ∆y
= ( x , y ) + ( x , y ) +α +β
x
y
( 0,
0)
0 0 0 0
ρ ∂ ρ ∂ ρ ρ ρ (10.4.10)
∆z x y ∂z ∂z
= ( x0, y0) cos α + ( x0, y0)
sinα +αcosα +βsinα, (10.4.11)
ρ ∂x
∂y
äå
limα= 0 ,
∆x→0
∆y→0
limβ= 0 . (10.4.12)
∆x→0
∆→ y 0
Ïåðåõ³ä â³ä ð³âíîñò³ (10.4.10) äî (10.4.11) â³ðíèé, òîìó ùî
ç òðèêóòíèêà M 0 MN âèïëèâàº, ùî
∆ x = cos α ∆ y
, à = sin α .
ρ
ρ
Òåïåð íåâàæêî ïåðåéòè äî ãðàíèö³ â ïðàâ³é ÷àñòèí³ ð³âíîñò³
(10.4.11), êîëè ρ→0. Ãðàíèöÿ â í³é ³ñíóº, îñê³ëüêè î÷åâèäíî,
ùî ïðè ρ→0 ∆x → 0 ³ ∆y → 0 (ÿêùî ã³ïîòåíóçà ïðÿìóº äî
íóëÿ, òî ³ êàòåòè òåæ ïðÿìóþòü äî íóëÿ), ³ çíà÷èòü â³ðí³
ð³âíîñò³ (10.4.12)). Òîä³ ³ñíóº ãðàíèöÿ â ë³â³é ÷àñòèí³ ð³âíîñò³
(10.4.11) ³ ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà (10.4.8).
Òåîðåìó äîâåäåíî.
Çàóâàæåííÿ 1. Àíàëîã³÷í³ òåîðåìè ìîæíà äîâåñòè ³
äëÿ ôóíêö³é äèôåðåíö³éîâíèõ â òî÷ö³ Q 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) òðèâèì³ðíîãî
ïðîñòîðó (ôóíêö³ÿ u = f(x, y, z) íàçèâàºòüñÿ äèôåðåíö³éîâíîþ
â òî÷ö³ Q 0 (x 0 , y 0 , z 0 ), ÿêùî â ö³é òî÷ö³ ïðèð³ñò
çîáðàæóºòüñÿ ó âèãëÿä³ ∆ u = A∆ x+ B∆ y+ C∆ z+α∆ x+β∆ y+γ∆ z, äå
∆x≠0, ∆y≠0, ∆z≠ 0 ³ lim ( αβγ , , ) = 0 ). Çîêðåìà, ñïðàâåäëèâà
ôîðìóëà
∆x→0
∆y→0
∆→ z 0
∂z ∂z ∂z ∂z
( x0, y0, z0) = ( x0, y0, z0) cos α+ ( x0, y0, z0) cos β+ ( x0, y0, z0)
cosγ
∂e ∂x ∂y ∂z
.
Òóò cos α, cos β ³ cosγ — íàïðÿìëåí³ êîñèíóñè, äëÿ ÿêèõ
â³ðíà ð³âí³ñòü:
2 2 2
cos α+ cos β+ cos γ= 1 .
Çàóâàæåííÿ 2. Ìîæíà àáñòðàêòíî ââåñòè n-âèì³ðíèé
ïðîñò³ð (n > 3). Òàêå ââåäåííÿ ìè íàçâàëè àáñòðàêòíèì,
îñê³ëüêè íàî÷íî âàæêî ñîá³ óÿâèòè â³äïîâ³äíó ñèñòåìó êîîðäèíàò
ïðè n >3.
Äëÿ n-âèì³ðíîãî ïðîñòîðó (n > 3) ââîäèòüñÿ òåæ ïîíÿòòÿ
äèôåðåíö³éîâíî¿ ôóíêö³¿ u = f(x 1 , x 2 , ..., x n ) (÷èòà÷åâ³ ïðîïîíóºòüñÿ
öå çðîáèòè) ³ ïîõ³äíî¿ çà íàïðÿìîì âåêòîðà
e r ( cos α1,cos α2, K ,cos α n ) â òî÷ö³ M ( 0 0 0
0
x1, x2, K , x n ). Ïðè öüîìó
ïîõ³äíà ôóíêö³¿ u = f(x 1 , x 2 , ..., x n ) â òî÷ö³ M 0 çà íàïðÿìîì
âåêòîðà e r îá÷èñëþºòüñÿ çà äîïîìîãîþ òàêî¿ ôîðìóëè:
∂u 0 0 ∂u 0 0 ∂u
0 0
( x1, K, x ) = ( x1, K, x ) cos α
1
+ K+ ( x1, K , x ) cosα
∂e ∂x ∂x
,
n n n n
1
n
370 371