ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

10.4. ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÉÎÂͲÑÒÜ ÔÓÍÊÖ²¯
10.4.1. Äèôåðåíö³éîâí³ñòü â òî÷ö³
Íåõàé ôóíêö³ÿ z = f(x, y) âèçíà÷åíà â δ-îêîë³ òî÷êè
M 0 (x 0 , y 0 ). ³çüìåìî òî÷êó M(x 0 + ∆x, y 0 + ∆y) ç öüîãî îêîëó.
гçíèöÿ ∆z = f(x 0 + ∆x, y 0 + ∆y) –f(x 0 , y 0 ) ïðè ∆x ≠ 0 ³ ∆y ≠ 0
íàçèâàºòüñÿ ïîâíèì ïðèðîñòîì ö³º¿ ôóíêö³¿ â òî÷ö³
M 0 (x 0 , y 0 ).
Îçíà÷åííÿ 10.4.1. Ôóíêö³ÿ z = f(x, y), ÿêà âèçíà÷åíà â
îêîë³ òî÷êè M 0 (x 0 , y 0 ), íàçèâàºòüñÿ äèôåðåíö³éîâíîþ â òî÷ö³,
ÿêùî ¿¿ ïîâíèé ïðèð³ñò ó ö³é òî÷ö³ ìîæíà çîáðàçèòè ó
âèãëÿä³:
( 0,
0)
∆ zx y = A⋅∆ x+ B⋅∆ y+α⋅∆ x+β⋅∆ y, (10.4.1)
äå ÷èñëà A ³ B íå çàëåæàòü â³ä ∆x ³ ∆y, à
limα= 0 ,
∆x→0
∆y→0
limβ= 0 .
∆x→0
∆→ y 0
∆x→0
∆y→0
Äëÿ äèôåðåíö³éîâíèõ ôóíêö³é äîâîäèòüñÿ íèçêà âàæëèâèõ
òåîðåì.
Òåîðåìà 10.4.1 (ïðî íåïåðåðâí³ñòü). ßêùî ôóíêö³ÿ
z = f(x, y) äèôåðåíö³éîâíà â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ), òî âîíà â ö³é
òî÷ö³ íåïåðåðâíà.
ijéñíî, ÿêùî ôóíêö³ÿ z = f(x, y) äèôåðåíö³éîâíà â òî÷ö³
M 0 (x 0 , y 0 ), òî ¿¿ ïîâíèé ïðèð³ñò çã³äíî ç îçíà÷åííÿì ìàº
âèãëÿä (10.4.1).
Ïåðåõîäÿ÷è äî ãðàíèö³ â ð³âíîñò³ (10.4.1) ïðè ∆x
→ 0 ³
∆y
→ 0, áóäåìî ìàòè, ùî lim∆ z = 0 . À öå îçíà÷àº, ùî ôóíêö³ÿ
z = f(x, y) íåïåðåðâíà â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ).
Òåîðåìó äîâåäåíî.
Òåîðåìà 10.4.2 (ïðî ³ñíóâàííÿ ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ).
ßêùî ôóíêö³ÿ z = f(x, y) äèôåðåíö³éîâíà â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ),
òî â ö³é òî÷ö³ ³ñíóþòü ÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ z′ x ( x0,
y0)
³ z′ y ( x0,
y0)
,
ïðè÷îìó, ÿêùî ïîâíèé ïðèð³ñò ôóíêö³¿ çàïèñàíèé ó âèãëÿä³
(10.4.1), òî
( , ) , ( , )
z′ x y = A z′
x y = B.
x
0 0 y 0 0
Äîâåäåííÿ. ßêùî ôóíêö³ÿ z = f(x, y) äèôåðåíö³éîâíà â
òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ), òî ¿¿ ïîâíèé ïðèð³ñò ó ö³é òî÷ö³ çã³äíî ç
îçíà÷åííÿì çàïèøåìî ó âèãëÿä³ (10.4.1). Íåõàé òåïåð
∆y = 0, à ∆x ≠ 0. Òîä³ ïîâíèé ïðèð³ñò ôóíêö³¿ â òî÷ö³
M 0 (x 0 , y 0 ) áóäå ñï³âïàäàòè ç ÷àñòèííèì ïðèðîñòîì ïî x
ö³º¿ ôóíêö³¿ â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ), òîáòî ð³âí³ñòü (10.4.1) ìîæíà
çàïèñàòè ó âèãëÿä³:
äå
limα= 0 . Çâ³äñè
∆x→0
( 0,
0)
∆ xz x y = A⋅∆ x+α⋅∆ x,
∆ xz = A +α .
∆x
Ïðè ∆x → 0 ïðàâà ÷àñòèíà îñòàííüî¿ ð³âíîñò³ ïðÿìóº äî
÷èñëà A, öå îçíà÷àº, ùî ôóíêö³ÿ z = f(x, y) â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 )
ìຠ÷àñòèííó ïîõ³äíó (ñê³í÷åííó) z′ x ( x0,
y0)
³ ñïðàâäæóºòüñÿ
ð³âí³ñòü
z′ x , y = A. (10.4.2)
x
( )
0 0
ßêùî ∆x = 0, à ∆y ≠ 0, òî, ïðîâîäÿ÷è àíàëîã³÷í³ ïåðåòâîðåííÿ,
ïåðåêîíàºìîñÿ, ùî ÷àñòèííà ïîõ³äíà ïî y â³ä ôóíêö³¿
z = f(x, y) ó òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ) òàêîæ ³ñíóº ³ ñïðàâåäëèâà ð³âí³ñòü
y
( 0,
0)
z′ x y = B. (10.4.3)
Òåîðåìó äîâåäåíî.
10.4.2. Äèôåðåíö³àë ôóíêö³¿
Íàãàäàºìî, ùî ÿêùî ôóíêö³ÿ z = f(x, y) äèôåðåíö³éîâíà â
òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ), òî ¿¿ ïîâíèé ïðèð³ñò ìîæå áóòè çîáðàæåíèé
ó âèãëÿä³:
( , )
∆ zx y = A⋅∆ x+ B⋅∆ y+α⋅∆ x+β⋅∆ y, (10.4.4)
0 0
äå ÷èñëà A ³ B íå çàëåæàòü â³ä ∆x ³ ∆y, à
limα= 0 ,
∆x→0
∆y→0
limβ= 0 .
∆x→0
∆→ y 0
366 367