ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Öåé æàðò³âëèâèé åêñïåðèìåíò äîïîì³ã ñòóäåíòîâ³ çðîçóì³òè
ïàðàäîêñàëüíèé íà ïåðøèé ïîãëÿä ôàêò: ÷àñòèíí³
ïîõ³äí³ ôóíêö³¿ â äàí³é òî÷ö³ ìîæóòü ³ñíóâàòè, à ñàìà
ôóíêö³ÿ â í³é ðîçðèâíà.
ÂÏÐÀÂÈ
10.6. Çíàéòè ÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ ôóíêö³¿ z = x y â òî÷ö³
M 0 (1, 2).
10.7. Çíàéòè ÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ ôóíêö³¿ z = arctg x y â òî÷ö³
M 0 (1, 1).
10.8. Çíàéòè ÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ ôóíêö³¿ z = sin( x 2 + y
2
) â
òî÷ö³ M 0 (0, 1).
∂z
∂z
1
10.9. Äîâåñòè, ùî x + y = , äå z = ln ( x + y)
.
∂x
∂y
2
∂z
∂z
3 2 3
10.10. Äîâåñòè, ùî x + y = 3z, äå z = x + xy − 2y
.
∂x
∂y
10.3.2. Ïîõ³äí³ âèùèõ ïîðÿäê³â
2
Íåõàé ôóíêö³ÿ z = f(x, y) ìຠâ îáëàñò³ D ⊂ R ÷àñòèíí³
ïîõ³äí³ z′ x ( x,
y)
³ z′ y ( x,
y)
. Ìè íàçèâàòèìåìî ¿õ ïîõ³äíèìè
ïåðøîãî ïîðÿäêó. Ö³ ïîõ³äí³, ÿê³ ðîçãëÿäàþòüñÿ ÿê ôóíêö³¿
â³ä x ³ y, â ñâîþ ÷åðãó ìîæóòü ìàòè ÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ ïî x
³ y. Òîáòî º ñåíñ ðîçãëÿäàòè ïîõ³äí³ ( z ′
x )
′
x
, ( z ′ x )
′ , ( )
y
z ′ ′ ³
y x
( z ′
y )
′
y
,
ÿê³ ìè â³äïîâ³äíî ïîçíà÷èìî òàê:
ðÿäîê çì³øàíèõ ïîõ³äíèõ äîð³âíþº 2, à ñàìå ïîõ³äí³ òàê³:
z′′
xy ³
z′′
yx . ßñíî, ùî ç³ çðîñòàííÿì n ¿õ ê³ëüê³ñòü çíà÷íî
çðîñòàº. ßêùî ìîæëèâî äèôåðåíö³þâàòè n ðàç³â ïî çì³ííèõ
x ³ y, òî â ðåçóëüòàò³ áóäåìî ìàòè 2 n ïîõ³äíèõ n-ãî ïîðÿäêó.
Ïîêàæåìî ñõåìàòè÷íî ïðîöåñ çíàõîäæåííÿ ïîõ³äíèõ âèùèõ
ïîðÿäê³â:
x
Ïðèêëàä 10.3.1. Íåõàé z = e cos y . Òðåáà çíàéòè óñ³ ïîõ³äí³
äðóãîãî ïîðÿäêó ³ ïîêàçàòè, ùî:
z′′ = z′′
;
1) xy yx
2) z′′ + z′′
= 0 .
xx
yy
Ðîçâ’ÿçàííÿ
′ ′ ′ ′
z′ = z′′ z′ = z′′ z′ = z′′ z′ = z′′
. (10.3.5)
( ) , ( ) , ( ) , ( )
x x xx x y xy y
x
yx y
y
yy
Îòðèìàí³ ïîõ³äí³ íàçèâàþòüñÿ ïîõ³äíèìè äðóãîãî ïîðÿäêó.
¯õ âñüîãî ÷îòèðè. ßêùî ïðîöåñ ïîäàëüøîãî äèôåðåíö³þâàííÿ
ìîæëèâèé, òî ïðè äèôåðåíö³þâàíí³ ôóíêö³é, âèçíà-
÷åíèõ çà ôîðìóëîþ (10.3.5), ìè îòðèìàºìî âæå 8 ïîõ³äíèõ
òðåòüîãî ïîðÿäêó ³ ò. ä. Ñåðåä íèõ áóäóòü çóñòð³÷àòèñÿ ïîõ³äí³
òèïó z′′
xx
, à òàêîæ òèïó z′′
xy . Ïîõ³äí³ îñòàííüîãî òèïó
áóäåìî íàçèâàòè çì³øàíèìè ïîõ³äíèìè. ßêíàéìåíøèé ïî-
Îòæå, áåçïîñåðåäíüî âñòàíîâëþºìî, ùî ä³éñíî ñïðàâåäëèâà
òîòîæí³ñòü 1).
x
x
2) Îñê³ëüêè, z′′ xx
= e cos y, à z′′ yy
=− e cos y, òî ð³âí³ñòü 2) òåæ
ñïðàâäæóºòüñÿ.
Çàóâàæåííÿ. Òîòîæí³ñòü òèïó 1) íå âèïàäêîâà. Ç íåþ
ïîâ’ÿçàíà.
360 361