You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Ïðè öüîìó ìè êîðèñòóºìîñÿ ïîíÿòòÿì â³äñòàí³ ì³æ äâîìà<br />
òî÷êàìè P ³ P 0 êîîðäèíàòíî¿ ïëîùèíè<br />
( ) ( )<br />
2 2<br />
0 0 0<br />
PP = x − x + y − y .<br />
Ïëîùèíà, ó ÿê³é óâåäåíà â³äñòàíü, ñòຠåâêë³äîâîþ ³ ïîçíà÷àºòüñÿ<br />
E (2) .<br />
Çàóâàæåííÿ 1. Âíóòð³øíüîþ òî÷êîþ P 0 îáëàñò³ íàçèâàþòü<br />
òî÷êó, ùî ìຠîê³ë O δ (P 0 ), óñ³ òî÷êè ÿêîãî íàëåæàòü<br />
äàí³é ìíîæèí³.<br />
Çîêðåìà, O δ (P 0 ) — îáëàñòü, à ìíîæèíà òî÷îê, ùî çàäîâîëüíÿþòü<br />
îñòàííþ íåð³âí³ñòü, íå º îáëàñòþ, ÿê öå äàíî çà îçíà-<br />
÷åííÿì. Àëå ìè ¿¿ áóäåìî íàçèâàòè îáëàñòþ, ò³ëüêè çàêðèòîþ.<br />
Òóò âèÿâëÿºòüñÿ àíàëîã³ÿ ç ñåãìåíòîì [a, b]. Êîëî, ùî<br />
â³äïîâ³äຠäàíîìó êðóãó, áóäåìî íàçèâàòè ãðàíèöåþ îáëàñò³.<br />
Âàðòî ïîì³òèòè, ùî îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿ äâîõ<br />
çì³ííèõ ìîæå áóòè ñàìå, ùî í³ º, “õèòðîìóäðà” ìíîæèíà<br />
(äèâ. íàïðèêëàä ðèñ. 10.2):<br />
Ðèñ. 10.1<br />
ßêùî öåíòð êîëà ðàä³óñà δ ïîì³ñòèòè â òî÷ö³ P 0 (x 0 , y 0 ),<br />
òî êîîðäèíàòè ìíîæèíè éîãî òî÷îê áóäóòü çàäîâîëüíÿòè<br />
óìîâó<br />
( x x0) ( y y0)<br />
2 2 2<br />
− + − ≤ δ .<br />
ßêùî âèêëþ÷èòè çíàê ð³âíîñò³, òî îòðèìàíà ð³âí³ñòü<br />
íàçèâàºòüñÿ δ-îêîëîì òî÷êè P 0 ³ ïîçíà÷àºòüñÿ O δ (P 0 ).<br />
O δ (P 0 ) — ïðÿìà àíàëîã³ÿ ç ³íòåðâàëîì (–δ, δ).<br />
Íàéïðîñò³øîþ îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿ îäí³º¿ çì³ííî¿<br />
º ³íòåðâàë (–δ, δ). Äëÿ ôóíêö³¿ æ äâîõ çì³ííèõ îáëàñòþ<br />
âèçíà÷åííÿ ñëóæèòü O δ (P 0 ).<br />
Ïîíÿòòÿ îáëàñò³ íà ïëîùèí³ âèìàãຠóòî÷íåííÿ (á³ëüøå<br />
ìîæëèâîñòåé ç’ºäíàííÿ îäí³º¿ òî÷êè ç ³íøîþ).<br />
Îçíà÷åííÿ 10.1.1. Îáëàñòþ äëÿ ôóíêö³¿ äâîõ çì³ííèõ<br />
íàçèâàºòüñÿ ìíîæèíà òî÷îê ïëîùèíè Oxy, ùî ìàþòü òàê³<br />
âëàñòèâîñò³:<br />
1) áóäü-ÿêà òî÷êà ìíîæèíè ìຠîê³ë, óñ³ òî÷êè ÿêîãî íàëåæàòü<br />
ö³é ìíîæèí³ (âëàñòèâ³ñòü â³äêðèòîñò³);<br />
2) äîâ³ëüí³ äâ³ òî÷êè ìíîæèíè ìîæíà ç’ºäíàòè ëàìàíîþ,<br />
óñ³ òî÷êè ÿêî¿ íàëåæàòü äàí³é ìíîæèí³ (âëàñòèâ³ñòü çâ’ÿçíîñò³).<br />
Ðèñ. 10.2<br />
Òóò óæå âèÿâëÿºòüñÿ ÿê³ñíà â³äì³íí³ñòü ôóíêö³¿ áàãàòüîõ<br />
çì³ííèõ â³ä ôóíêö³é îäí³º¿ çì³ííî¿. Íàäàë³ áóäåìî<br />
ââàæàòè, ùî îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿ â³äîìà.<br />
Äî ðå÷³, íà ïðàêòèö³ îáëàñòü âèçíà÷åííÿ âèçíà÷àºòüñÿ ç<br />
íàñòóïíèõ ì³ðêóâàíü: âîíà ô³êñóºòüñÿ â òèõ òî÷êàõ êîîðäèíàòíî¿<br />
ïëîùèíè, ó ÿêèõ ôóíêö³ÿ âèçíà÷åíà, ìຠñåíñ.<br />
2 2<br />
Íàïðèêëàä, ðîçãëÿíóòà íàìè ôóíêö³ÿ z= 1 −x − y âèçíà÷åíà<br />
â òèõ òî÷êàõ ïëîùèíè xOy, ó ÿêèõ êîîðäèíàòè<br />
2 2<br />
çâ’ÿçàí³ ñï³ââ³äíîøåííÿì 1−x<br />
−y<br />
≥ 0.<br />
Ðîçãëÿíåìî ôóíêö³þ f(x, y) ³ áóäü-ÿêó òî÷êó P ( x , y ) D( f)<br />
0 0 0<br />
∈ .<br />
Òîä³ â³äïîâ³äíî äî oçíà÷åííÿ ÷èñëîâî¿ ôóíêö³¿ ìîæíà âèçíà-<br />
÷èòè çíà÷åííÿ z = f(x, y). Òàê³ çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ áóäåìî íàçèâàòè<br />
÷àñòèííèìè.<br />
Îçíà÷åííÿ 10.1.2. Ìíîæèíà âñ³ëÿêèõ îêðåìèõ çíà÷åíü<br />
ôóíêö³¿ z = f(P) (z = f(x, y)) íàçèâàºòüñÿ îáëàñòþ çíà÷åíü<br />
ôóíêö³¿ ³ ïîçíà÷àºòüñÿ E(f).<br />
346 347
Change language