ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

4 3
∆Ψ = 10 − 10 = 9000 .
Îòæå, ïðè ðåàë³çàö³¿ ïðîäóêòó â 100 îäèíèöü äîõîä ñòàíîâèòü
11 000 (ãð. îä), à ïðèáóòîê 9000 (ãð. îä.).
9.12. ÍÀÁËÈÆÅÍÅ ÎÁ×ÈÑËÅÍÍß
ÂÈÇÍÀ×ÅÍÈÕ ²ÍÒÅÃÐÀ˲Â
Äëÿ íàáëèæåíîãî îá÷èñëåííÿ âèçíà÷åíèõ ³íòåãðàë³â º
ê³ëüêà ñïîñîá³â. ßêùî ôóíêö³ÿ f(x) çàäàíà ôîðìóëîþ àáî
òàáëèöåþ, òî íàáëèæåíå çíà÷åííÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà
b
∫ fxdx ( ) ìîæíà çíàéòè òàêèì øëÿõîì: 1) ðîçáèòè â³äð³çîê
a
³íòåãðóâàííÿ [a, b] òî÷êàìè x 1 , x 2 , ..., x n-1 íà n ð³âíèõ ÷àñòèí
h = ; 2) îá÷èñëèòè çíà÷åííÿ ï³ä³íòåãðàëüíî¿ ôóíê-
b − a
n
ö³¿ y = f(x) â òî÷êàõ a, x 1 , x 2 , ..., x n-1 , b, òîáòî âèçíà÷èòè:
y 0 = f(a), y 1 = f(x 1 ), ..., y n-1 = f(x n-1 ), y n = f(b); 3) ñêîðèñòàòèñÿ
îäí³ºþ ç íàáëèæåíèõ ôîðìóë.
Íàéá³ëüøå âæèâàþòüñÿ òàê³ íàáëèæåí³ ôîðìóëè, ÿê³ çàñíîâàí³
íà ãåîìåòðè÷íîìó çîáðàæåíí³ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà
ó âèãëÿä³ ïëîù³ êðèâîë³í³éíî¿ òðàïåö³¿. Ïðè öüîìó ïðèïóñêàºòüñÿ,
ùî ôóíêö³ÿ f(x) çàäàíà àíàë³òè÷íî ³ äèôåðåíö³éîâíà
ïîòð³áíå ÷èñëî ðàç äëÿ îö³íêè ïîõèáêè.
9.12.1. Ôîðìóëà ïðÿìîêóòíèê³â
àáî
b
n−1
∫ fxdx ( ) ≈ hy ( 0
+ y1 + K + yn−
1)
= h∑
yi
(9.12.1)
a
i=
0
b
n
∫ fxdx ( ) ≈ hy ( 1
+ y2
+ K + yn)
= h∑
yi
. (9.12.2)
a
i=
1
Ãåîìåòðè÷íî (ðèñ. 9.29) çà ö³ºþ ôîðìóëîþ ïëîùà êðèâîë³í³éíî¿
òðàïåö³¿ aABb, ÿêà â³äïîâ³äຠ³íòåãðàëó ∫ fxdx ( ) ,
b
a
çàì³íþºòüñÿ ñóìîþ ïëîù çàøòðèõîâàíèõ ïðÿìîêóòíèê³â.
Ðèñ. 9.29
9.12.2. Ôîðìóëà òðàïåö³é
b
⎛y 1
0
+ y n
n
⎞ ⎛y0
+ y −
n ⎞
∫ fxdx ( ) ≈ h⎜ + y1 + y2 + K + yn−1⎟ = h⎜ + ∑ yi⎟. (9.12.3)
a
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 i=
1 ⎠
Ãåîìåòðè÷íî çà ö³ºþ ôîðìóëîþ ïëîùà êðèâîë³í³éíî¿
òðàïåö³¿ çàì³íþºòüñÿ ñóìîþ ïëîù çàøòðèõîâàíèõ òðàïåö³é
(ðèñ. 9.30).
Ðèñ. 9.30
1
dx
Ïðèêëàä 9.1.7. Îá÷èñëèòè íàáëèæåíî ³íòåãðàë ∫ 2 çà
0 1 + x
äîïîìîãîþ ôîðìóë ïðÿìîêóòíèê³â ³ òðàïåö³¿ é ïîð³âíÿòè ç
éîãî òî÷íèì çíà÷åííÿì.
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Íå îáìåæóþ÷è çàãàëüíîñò³, ðîç³á’ºìî
ñåãìåíò [0, 1] íà 10 ð³âíèõ ÷àñòèí (h =10 –1 ) ³ çíàéäåìî çíà-
÷åííÿ ôóíêö³¿ f(x) =(1+x 2 ) –1 â òî÷êàõ ðîçáèòòÿ. Ïîò³ì çàñòîñóºìî
ôîðìóëè (9.10.1) – (9.10.3)
1
∫
0
dx
1 +
(1.0 0.99 0.96 0.92 0.86 0.8
2
x ≈ + + + + + +
340 341