ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çà ôîðìóëîþ (9.9.1) ìàºìî
ÂÏÐÀÂÈ
β
( ) ( ) 2
( ( )) 2
S = 2π∫
a 1− cost asint + a 1− cost dt =
α
t 64
= πa − t dt = π a dt = πa .
2π
3
2π
2 2
2 3 2
2 2 ∫ ( 1 cos ) 8 ∫ sin
0 0 2 3
9.23. Çíàéòè ïëîùó ïîâåðõí³, óòâîðåíî¿ îáåðòàííÿì íàâêîëî
â³ñ³ Ox:
1) äóãè êóá³÷íî¿ ïàðàáîëè y = x 3 , ÿêà ì³ñòèòüñÿ ì³æ ïðÿìèìè
2
x =− ³
3
2
x = ;
3
2 2
x y
2) åë³ïñà + = 1
2 2 , a > b;
a b
3) îêðóæíîñò³ x = acos t, y = asin t;
4) äóãè ïàðàáîëè y 2 =2x ì³æ òî÷êàìè ïåðåòèíó ç ïðÿìîþ
2x =3.
Ïðèêëàä 9.10.1. Îá÷èñëèòè ðîáîòó, ÿêó òðåáà çàòðàòèòè,
ùîá ò³ëî ìàñè m ï³äíÿòè ç ïîâåðõí³ Çåìë³ âåðòèêàëüíî
âãîðó íà âèñîòó h, ÿêùî ðàä³óñ Çåìë³ äîð³âíþº R.
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çã³äíî ç çàêîíîì Íüþòîíà ñèëà çåìíîãî
òÿæ³ííÿ äîð³âíþº:
mM
F( x) =γ
2 ,
x
äå Ì — ìàñà Çåìë³, γ — ãðàâ³òàö³éíà ñòàëà, õ — â³äñòàíü
â³ä öåíòðà ò³ëà äî öåíòðà Çåìë³ (ðèñ. 9.26). Î÷åâèäíî, ùî
R ≤ õ ≤ R + h. ßêùî õ = R, (ò³ëî çíàõîäèòüñÿ íà ïîâåðõí³
Çåìë³), òî (R) =Ð = mg — âàãà ò³ëà, òîáòî
mM
F( R) =γ = P ,
2
R
³ çâ³äñè çà ôîðìóëîþ (9.10.1) ìàºìî:
R+ h
R+
h 2
pR PRh
A= ∫ F( x)
dx = ∫ dx=
2
R
R x R+ h
.
9.10. Ô²ÇÈ×Ͳ ÇÀÑÒÎÑÓÂÀÍÍß
ÂÈÇÍÀ×ÅÍÎÃÎ ²ÍÒÅÃÐÀËÀ
Çàñòîñóâàíü âèçíà÷åíèõ ³íòåãðàë³â ó ô³çèö³ äóæå áàãàòî.
³äçíà÷èìî äåÿê³ ç íèõ.
9.10.1. Ðîáîòà çì³ííî¿ ñèëè
ßê áóëî âæå ñêàçàíî â ï. 9.1.2, îá÷èñëåííÿ ðîáîòè çì³ííî¿
ñèëè ïðèâîäèòü äî ïîíÿòòÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà. Íàãàäàºìî,
ùî, ÿêùî çì³ííà ñèëà (x) 䳺 âçäîâæ íàïðÿìó
ðóõó íà ñåãìåíò³ [a, b], òî ðîáîòà À îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ
b
a
( )
A= ∫ F x dx . (9.10.1)
Ó öüîìó ïóíêò³ ðîçãëÿíåìî êîíêðåòíå çàñòîñóâàííÿ âèçíà÷åíîãî
³íòåãðàëà.
Ðèñ. 9.26
332 333