ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

π
π
π
2
⎛ 1 ⎞
∫sin ∫( 1 cos 2 ) ⎜ sin 2 ⎟
0 0 ⎝ ⎠0
2
π π π
V =π xdx = − x dx = x − x = .
2 2 2 2
ÂÏÐÀÂÈ
Ðèñ. 9.25
9.22. Îá÷èñëèòè îá’ºì ò³ëà, óòâîðåíîãî îáåðòàííÿì ô³ãóðè,
ÿêà îáìåæåíà ë³í³ÿìè:
1) y 2 = px, x = a íàâêîëî îñ³ Ox;
2 2
x y
2) + = 1
2 2 íàâêîëî îñ³ Oy;
a b
3) 2y = x 2 , 2x +2y – 3 = 0 íàâêîëî îñ³ Ox;
4) y =4–x 2 , y = 0 íàâêîëî ïðÿìî¿ x =3.
9.9. ÏËÎÙÀ ÏÎÂÅÐÕͲ Ò²ËÀ ÎÁÅÐÒÀÍÍß
9.9.1. Âèïàäîê îáåðòàííÿ êðèâî¿, ÿêà çàäàíà ð³âíÿííÿì
y=f(x), x∈ [a, b]
Íåõàé ãðàô³ê íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâíî¿ ôóíêö³¿
y = f(x), x∈[a, b] (f(x) ≥ 0) îáåðòàºòüñÿ íàâêîëî îñ³ Îõ. Òîä³
ìîæíà ïîêàçàòè, ùî ïëîùà ïîâåðõí³ ò³ëà, óòâîðåíîãî òàêèì
÷èíîì, ³ñíóº ³ âîíà çíàõîäèòüñÿ çà ôîðìóëîþ
( ) ( ′( )) 2
b
S = 2π ∫ f x 1+
f x dx. (9.9.1)
a
Ïðèêëàä 9.9.1. Îá÷èñëèòè ïëîùó ïîâåðõí³ øàðîâîãî ïîÿñó
âèñîòè H (÷àñòèíà ñôåðè, ÿêà âèð³çàíà äâîìà ïàðàëåëüíèìè
ïëîùèíàìè, ùî ðîçòàøîâàí³ îäíà â³ä îäíî¿ íà â³äñòàí³
H), ÿêùî ðàä³óñ ñôåðè äîð³âíþº R.
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ïîâåðõíþ øàðîâîãî ïîÿñó ìîæíà ðîçãëÿíóòè
ÿê ïîâåðõíþ ò³ëà, ÿêó óòâîðåíî ïðè îáåðòàíí³ äóãè
2 2
êîëà y = R − x , äå a ≤ x ≤ b, b – a = H, íàâêîëî îñ³ Îõ, (÷èòà-
÷åâ³ ïðîïîíóºìî çîáðàçèòè öåé ôàêò â³äïîâ³äíèì ðèñóíêîì).
Îñê³ëüêè, f′ ( x) =
−x
2 2 , òî ( ( )) 2 R
1 + f′
x = ,
2 2 ³
R − x
R − x
çã³äíî ç ôîðìóëîþ (9.9.1) áóäåìî ìàòè
b
2 2 R
b
S = 2π∫
R −x ⋅ dx = 2π R∫dx = 2πR( b− a)
= 2πRH
.
a
2 2
R − x
a
Îòæå, ïëîùà ïîâåðõí³ øàðîâîãî ïîÿñó âèñîòè H îá÷èñëþºòüñÿ
çà ôîðìóëîþ S = 2π RH .
Çîêðåìà, ïëîùó ïîâåðõí³ ñôåðè ðàä³óñà R ìîæíà îòðèìàòè
øëÿõîì ãðàíè÷íîãî ïåðåõîäó îñòàííüî¿ ð³âíîñò³ ïðè
2
H → R: S = 4π R .
ñô.
9.9.2. Âèïàäîê îáåðòàííÿ êðèâî¿, ÿêà çàäàíà ïàðàìåòðè÷íî
ßêùî êðèâà çàäàíà ïàðàìåòðè÷íî:
x=ϕ () t , y =ψ()
t ( α≤t≤β,
)
äå ϕ, ψ — íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâí³ ôóíêö³¿ íà ñåãìåíò³
ϕα = ϕβ = b , òî ³ç ôîðìóëè (9.9.1) âèïëèâຠòàêà
[α, β], ( ) a,
( )
β
() ( ′()) ( ′())
2 2
S = 2π∫ ψ t ϕ t + ψ t dt . (9.9.2)
α
Ïðèêëàä 9.9.2 Îá÷èñëèòè ïëîùó S ïîâåðõí³, îòðèìàíî¿
x= a t− sin t , y= a 1−cos t ,
øëÿõîì îáåðòàííÿ öèêëî¿äè ( ) ( )
0≤ t ≤2π, íàâêîëî îñ³ Îõ.
330 331