ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Ãðàíèöÿ ö³º¿ ñóìè ïðè
λ= max ∆x
→ 0 (ÿêùî âîíà ³ñíóº)
1≤≤
i n
íàçèâàºòüñÿ îá’ºìîì äàíîãî ò³ëà. Î÷åâèäíî, ùî V n — ³íòåãðàëüíà
ñóìà äëÿ ôóíêö³¿ S(õ) íà ñåãìåíò³ [à, b]. Îòæå, çà
îçíà÷åííÿì âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà îá’ºì ò³ëà Ò òàêèé:
b
V = ∫ S( x)
dx . (9.8.1)
a
Çàóâàæåííÿ. ßêùî íàì â³äîì³ ïëîù³ S(y) ïåðåð³ç³â,
ùî ïðîõîäÿòü ïåðïåíäèêóëÿðíî îñ³ Îy ÷åðåç òî÷êó ç êîîðäèíàòîþ
ó íà ö³é îñ³ (ñ ≤ ó ≤ d), òî îá’ºì ò³ëà Ò (çà óìîâè,
ùî â³í ³ñíóº) îá÷èñëþºòüñÿ çà òàêîþ ôîðìóëîþ:
d
( )
i
V = ∫ S y dy . (9.8.2)
c
Ïðèêëàä 9.8.1. Çíàéòè îá’ºì åë³ïñî¿äà (ðèñ. 9.24)
2 2 2
x y z
+ + = 1.
2 2 2
a b c
àáî
2 2 2
x z y
+ = 1− 2 2 2 ,
a c b
x
a
z
+ 1
c
= .
2 2
2 2
1 1
2 2
y
y
ϳâîñ³ öüîãî åë³ïñà òàê³: a = 1
a 1 − , c
2 1
c 1
2
b
= − b
. Éîãî
ïëîùà (äèâ. ïðèêë. 9.5.1, 9.7.2) äîð³âíþº
2
⎛
Sy () ab
1 1
ac 1 y ⎞
=π =π ⎜ −
2 ⎟
⎝ b ⎠ .
Òîä³ çà ôîðìóëîþ 9.8.2 îòðèìàºìî
b
2 2 3 b
⎛ y ⎞ b⎛ y ⎞ ⎛ y ⎞ 4
V =πac∫
⎜1− dy 2 ac 1 dy 2 ac y abc
2 ⎟ = π ∫⎜ −
2 ⎟ = π ⎜ −
2 ⎟ = π
−b
⎝ b ⎠ 0⎝ b ⎠ ⎝ 3b
⎠ 0 3
.
Çîêðåìà, ÿêùî ïîêëàñòè a = b = c = R, òî îòðèìàºìî â³äîìó
ôîðìóëó îá’ºìó êóë³
V
4
3
3
= π R .
9.8.2. Îá’ºì ò³ëà îáåðòàííÿ
Ðîçãëÿíåìî ò³ëî, ÿêå óòâîðåíî îáåðòàííÿì ãðàô³êà ôóíêö³¿
ó = f(x) íàâêîëî cåãìåíòà [à, b] îñ³ Îõ (ðèñ. 9.25). Òîä³
ïëîùà ïåðåð³çó S(x) =πf 2 (õ), ³ çã³äíî ç ôîðìóëîþ (9.8.1)
ìàòèìåìî:
Ðèñ. 9.24
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Ó ïåðåð³ç³ åë³ïñî¿äà ïëîùèíîþ, ïàðàëåëüíîþ
ïëîùèí³ Îxyz íà â³äñòàí³ ó â³ä íå¿, óòâîðþºòüñÿ
åë³ïñ
b
2
V f ( x)
dx
a
=π∫ . (9.8.3)
Ïðèêëàä 9.8.2. Çíàéòè îá’ºì ò³ëà, óòâîðåíîãî îáåðòàííÿì
ãðàô³êà ôóíêö³¿ y = sin x íàâêîëî â³äð³çêà [0, π] îñ³
Îõ.
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çà ôîðìóëîþ (9.8.3) ìàºìî:
328 329