ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

α≤ϕ≤β, äå ρ(ϕ) — íåïåðåðâíà äèôåðåíö³éîâíà íà [α, β]
ôóíêö³ÿ, òî ìîæíà äîâåñòè, ùî
l
( ) ( ′( )) 2
β
2
= ρ ϕ + ρ ϕ dϕ
α
∫ . (9.7.6)
Ïðèêëàä 9.7.6. Îá÷èñëèòè äîâæèíó äóãè ïåðøîãî âèòêà
ñï³ðàë³ Àðõ³ìåäà (ðèñ. 9.22) ρ= aϕ, 0≤ϕ≤2π.
ÂÏÐÀÂÈ
9.21. Îá÷èñëèòè äîâæèíó äóãè:
1) ï³âêóá³÷íî¿ ïàðàáîëè y 2 =(x –1) 3 ì³æ òî÷êàìè A(2, –1)
³ B(5, –8).
3 ϕ
2) êðèâî¿ ρ= a cos .
3
9.8. ÎÁ×ÈÑËÅÍÍß ÎÁ’ªÌ²Â Ò²Ë
9.8.1. Îá÷èñëåííÿ îá’ºì³â ò³ë çà â³äîìèìè ïëîùàìè
ïåðåð³ç³â
Ðîçãëÿíåìî äåÿêå ò³ëî Ò (ðèñ. 9.23). Ïîçíà÷èìî ÷åðåç
S(õ) ïëîùó ïåðåð³çó öüîãî ò³ëà ïëîùèíîþ, ùî ïðîõîäèòü
ïåðïåíäèêóëÿðíî äåÿêî¿ îñ³ ÷åðåç òî÷êó ç êîîðäèíàòîþ õ
íà ö³é îñ³ (a ≤ x ≤ b).
Ðèñ. 9.22
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çàñòîñóºìî ôîðìóëó (9.7.6). Ó ðåçóëüòàò³
îòðèìàºìî
⎡
2
u = ϕ + 1, dv = dϕ⎤
2π
2π
⎢
⎥
2 2 2 2
l = ∫ a ϕ + a dϕ = a∫ 1 +ϕ dϕ = ⎢ ϕ
⎥ =
0 0
du = dϕ , v = ϕ
2
⎢⎣
ϕ + 1 ⎥⎦
( )
2π 2π 2 2 2
2 ϕ
π
2 ϕ + 1−1
= a ϕ + 1 ϕ −a⋅ ∫ dϕ= 2aπ 4π + 1−a∫
dϕ=
0 0
2
0
2
ϕ + 1 ϕ + 1
( )
2π
2 dϕ
2 2
= 2aπ 4π + 1− l+ a∫
= 4aπ 4π + 1− l+ aln 2π+ 4π + 1
0
2
.
ϕ + 1
Ñàìà ë³âà ÷àñòèíà ³ ñàìà ïðàâà ÷àñòèíà ëàíöþæêà ð³âíîñòåé
ÿâëÿþòü ñîáîþ ð³âíÿííÿ â³äíîñíî øóêàíî¿ äîâæèíè l.
Ðîçâ’ÿçóþ÷è éîãî, îñòàòî÷íî ìàòèìåìî
( )
⎡
1
= ⎢π π + + π+ π +
⎣
2
2 2
l a 4 1 ln 2 4 1 .
⎤
⎥
⎦
Ðèñ. 9.23
Çä³éñíèìî äîâ³ëüíå ðîçáèòòÿ R ñåãìåíòà [a, b] íà ÷àñòèíí³
ñåãìåíòè òî÷êàìè
R: a = x 0 < x 1 < ...< x n–1 < x n = b
³ ïðîâåäåìî ÷åðåç ö³ òî÷êè ïëîùèíè, ïåðïåíäèêóëÿðí³ ñåãìåíòó
[a, b]. Íà êîæíîìó ÷àñòèííîìó ñåãìåíò³ [x i–1 , x i ] âèáåðåìî
äîâ³ëüíó òî÷êó ξ i . Ïëîùèíè ðîçáèâàþòü ò³ëî Ò íà
øàðè, â ÿê³ âïèøåìî åëåìåíòàðí³ öèë³íäðè Ò i . Ïëîùà îñíîâè
öèë³íäðà Ò i äîð³âíþº S(ξ i ), à âèñîòà ∆õ i = õ i – x i-1 . Îá’ºì
âñ³õ òàêèõ öèë³íäð³â îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ
n n
n
=
i
= ( ξi)
∆
i
i= 1 i=
1
V ∑T ∑ S x .
326 327