ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Âèõîäÿ÷è ç ãåîìåòðè÷íîãî çì³ñòó âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà
íåâàæêî ïîáà÷èòè, ùî ïëîùà ö³º¿ ô³ãóðè äîð³âíþº ð³çíèö³
ïëîù äâîõ êðèâîë³í³éíèõ òðàïåö³é
( ) ( ) ( ( ) ( ))
b b b
SABCD = SaADb − SaBCb
= ∫f x dx− ∫g x dx = ∫ f x −g x dx. (9.7.1)
a a a
Çàóâàæåííÿ. Ôîðìóëà (9.7.1) çáåð³ãàºòüñÿ ³ ó òîìó
âèïàäêó, êîëè ôóíêö³¿ f(õ), g(õ) ïðèéìàþòü áóäü-ÿê³ çíà÷åííÿ,
íå îáîâ’ÿçêîâî íåâ³ä’ºìí³. Àëå ïðè öüîìó ïîâèííà âèêîíóâàòèñÿ
íåð³âí³ñòü f(õ) ≥ g(õ), íàïðèêëàä, ÿê çîáðàæåíî íà
ðèñ. 9.15.
Ðèñ. 9.15
Îá´ðóíòóâàííÿ ôîðìóëè (9.7.1) ó öüîìó âèïàäêó òàêå:
êð³ì ôóíêö³é f(õ), g(õ), ðîçãëÿíåìî ôóíêö³¿ f(õ) +Ñ, g(õ)+Ñ,
äå Ñ âèáèðàºòüñÿ òàê, ùîá íîâ³ ôóíêö³¿ ïðèéìàëè ò³ëüêè
äîäàòí³ çíà÷åííÿ. Äëÿ òàêèõ ôóíêö³é ôîðìóëà (9.7.1) ñïðàâåäëèâà.
Äàë³ òðåáà ñêîðèñòàòèñÿ î÷åâèäíîþ òîòîæí³ñòþ:
(f(õ) +Ñ) –(g(õ) +Ñ) =f(õ) –g(õ).
Ïðèêëàä 9.7.1. Îá÷èñëèòè ïëîùó ô³ãóðè, ÿêó îáìåæåíî
2
ãðàô³êàìè ôóíêö³é y = x+ 2, y = x + 2x
(ðèñ. 9.16).
Ðèñ. 9.16
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ñïî÷àòêó çíàéäåìî ìåæ³ ³íòåãðóâàííÿ.
Äëÿ öüîãî òðåáà çíàéòè àáñöèñè òî÷îê ïåðåòèíó ãðàô³ê³â
2
ôóíêö³é y = x+ 2, y = x + 2x. Îñê³ëüêè â òî÷êàõ ïåðåòèíó îðäèíàòè
îäíàêîâ³, òî äëÿ çíàõîäæåííÿ øóêàíèõ àáñöèñ ìàòèìåìî
ð³âíÿííÿ
2
x + 2x = x+
2
³ çâ³äñè ìàºìî: x 1 = –2, x 2 =1.
Îòæå,
1 1
2 3
2 2
⎛ x x ⎞ 9
S = ∫ ( x+ 2−x − 2x) dx = ∫ ( 2−x− x ) dx = ⎜2x− − ⎟ = = 4,5
−2 −2
2 2 2
.
⎝
⎠ −2
2. Ïëîùà ô³ãóðè, ÿêà îáìåæåíà ë³í³ÿìè, ùî çàäàí³
ïàðàìåòðè÷íî. Íåõàé êðèâîë³í³éíà òðàïåö³ÿ îáìåæåíà êðèâîþ,
ÿêà çàäàíà ïàðàìåòðè÷íî
x =ϕ t , y =ψ t , α≤t ≤β,
() ()
äå ϕ(t), ó = ψ(t) — íåïåðåðâí³ ³ íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâí³
íà ñåãìåíò³ [α, β] ôóíêö³¿. ßêùî ôóíêö³ÿ ϕ(t) ìîíîòîííà íà
[α, β] ³ ϕ(α) =à, ϕ(β) =b, òî ïëîùà êðèâîë³í³éíî¿ òðàïåö³¿
îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ:
β
() ()
S = ∫ ψ t ϕ′ t dt . (9.7.2)
α
1
318 319