ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

ßêùî ³ñíóþòü îêðåìî ñê³í÷åíí³ ãðàíèö³
lim
c−ε1
( ) lim ∫ ( )
∫ f x dx, f x dx,
ε1→0 a
ε2→ 0c+ε
2
òî ³íòåãðàë ó ë³â³é ÷àñòèí³ ôîðìóëè (9.6.9) íàçèâàºòüñÿ
çá³æíèì, à ÿêùî õî÷à á îäíà ç öèõ ãðàíèöü íå ³ñíóº àáî º
íåñê³í÷åííîþ — ðîçá³æíèì.
ßêùî îñîáëèâèìè º ò³ëüêè òî÷êè à ³ b, òî çà îçíà÷åííÿì
b c b
( ) = ( ) + ( ) ,
b
∫f x dx ∫f x dx ∫ f x dx
(9.6.10)
a a c
äå ñ — äîâ³ëüíà òî÷êà ³íòåðâàëó (à, b). ²íòåãðàë ó ë³â³é
÷àñòèí³ ôîðìóëè (9.6.10) áóäå çá³æíèì, ÿêùî îáèäâà ³íòåãðàëè
ó ïðàâ³é ¿¿ ÷àñòèí³ çá³æí³.
Ç ãåîìåòðè÷íî¿ òî÷êè çîðó, ³íòåãðàë (9.6.8) òàêîæ, ÿê ³
íåâëàñíèé ³íòåãðàë ² ðîäó, âèðàæຠïëîùó íåñê³í÷åííî¿ ô³ãóðè
(ðèñ. 9.13).
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ó äàíîìó ïðèêëàä³ îñîáëèâîþ º òî÷êà
õ = 1. Òîä³ ìàºìî:
dx
dx
−ε
π
= = ( arcsin x) = ( arcsin( 1−ε ))
= arcsin1 = .
1−x
1−x
2
1 1−ε
1
∫ lim ∫ lim lim
2 0 2 0
0
0 ε→ 0
ε→ ε→0
²íòåãðàë çá³ãàºòüñÿ.
Ïðèêëàä 9.6.10. Äîñë³äèòè íà çá³æí³ñòü ³ ó âèïàäêó çá³æíîñò³
îá÷èñëèòè ³íòåãðàë:
2
∫
dx
( x − )
−1 3
2
1
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ó äàíîìó ïðèêëàä³ ï³ä³íòåãðàëüíà
ôóíêö³ÿ ìຠíåñê³í÷åííèé ðîçðèâ ó òî÷ö³ x = 1, ÿêà çíàõîäèòüñÿ
óñåðåäèí³ â³äð³çêà ³íòåãðóâàííÿ [–1, 2]. Çàñòîñóºìî
ôîðìóëó (9.6.9):
dx dx dx
2 1−ε1
2
3
1
∫ = lim ∫ + lim ∫ = lim 3 x − 1 +
−1 3
2 ε→+ 1 0
− 1 3
2 ε2→+ 0
1+ε
3
2 ε→+ 1 0
( x−1 2
) ( x−1) ( x−1)
.
1−ε
−1
3 3 3
( 1 ) ( 2 ) ( )
2
+ lim 3 x − 1 = 3 lim −ε − − 2 + 3 lim 1 − ε = 3 2 + 1 .
3 3 3
ε2→+ 0 1+ε
ε1→+ 0 ε2→+
0
2
²íòåãðàë çá³ãàºòüñÿ.
Ïðèêëàä 9.6.11. Äîñë³äèòè íà çá³æí³ñòü
Ðèñ. 9.13
Ïðèêëàä 9.6.9. Äîñë³äèòè íà çá³æí³ñòü ³ ó âèïàäêó çá³æíîñò³
îá÷èñëèòè ³íòåãðàë
1
∫
0 1
dx
.
2
− x
e
dx
∫ . (9.6.11)
1 x ln x
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Îñîáëèâîþ º òî÷êà õ = 1, îñê³ëüêè
ln1 = 0. Ìàºìî:
( ln x)
e
dx
e d
e
∫ = lim ∫ = lim( ln ( ln x)
) = lim( − ln ( ln ( 1+ε )))
=+∞.
1 xln
x ε→01+ε
ln x ε→0 1+ε
ε→0
Îòæå, ³íòåãðàë (9.6.11) ðîçá³æíèé.
314 315