ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Îçíà÷åííÿ 9.6.1. Íåâëàñíèì ³íòåãðàëîì ² ðîäó â³ä
ôóíêö³¿ f(õ) íà ïðîì³æêó [a, +∞) (ïîçíà÷àºòüñÿ ñèìâîëîì
+∞
f x dx
∫ ( ) ) íàçèâàºòüñÿ ãðàíèöÿ f( x) dx,
a
A
lim
A→+∞
a
∫ òîáòî
A
∫ f( x) dx = lim ∫ f( x)
dx. (9.6.1)
+∞
a
A→+∞
a
Ïðè öüîìó ìîæëèâ³ 3 âèïàäêè:
1) ³ñíóº ñê³í÷åííà ãðàíèöÿ (9.6.1); 2) ãðàíèöÿ (9.6.1) äîð³âíþº
íåñê³í÷åííîñò³; 3) ãðàíèöÿ (9.6.1) çîâñ³ì íå ³ñíóº.
Ó ïåðøîìó âèïàäêó íåâëàñíèé ³íòåãðàë ² ðîäó (9.6.1)
íàçèâàºòüñÿ çá³æíèì, à ó âèïàäêàõ 2) – 3) — ðîçá³æíèì.
ßêùî íà ïðîì³æêó [a, +∞) f(õ) ≥ 0, òî, ç ãåîìåòðè÷íî¿
òî÷êè çîðó, íåâëàñíèé ³íòåãðàë ² ðîäó âèðàæຠïëîùó íåîáìåæåíî¿
îáëàñò³ (ðèñ. 9.9).
äå ñ — äîâ³ëüíå ÷èñëî. Íåâëàñíèé ³íòåãðàë çë³âà ó ð³âíîñò³
(9.6.2) º çá³æíèì òîä³ ³ ò³ëüêè òîä³, êîëè îáèäâà ³íòåãðàëè
ó ïðàâ³é ¿¿ ÷àñòèí³ çá³æí³.
Ïðèêëàä 9.6.1
+∞
dx
A
dx
π
∫ =
2 lim ∫ =
2 lim ( arctg A− arctg0)
= limarctg A = .
0 1+ x A→+∞ o 1+
x A→+∞ A→+∞
2
π
Îòæå ³íòåãðàë çá³æíèé, ³ éîãî çíà÷åííÿ äîð³âíþº . 2
Ïðèêëàä 9.6.2
dx
A
dx
∫ = lim ∫ = lim ( ln A− ln1)
= lim ln A=+∞.
x x
+∞
1 A→+∞1
A→+∞ A→+∞
Ó öüîìó ïðèêëàä³ ³íòåãðàë ðîçá³æíèé.
Ïðèêëàä 9.6.3
+∞
A
( )
∫ cos xdx = lim ∫ cos xdx = lim sin A − sin 0 = lim sin A .
0 A→∞ 0
A→+∞ A→+∞
³äîìî, ùî ôóíêö³ÿ sinx íå ìຠãðàíèö³ íà íåñê³í÷åííîñò³,
òîìó â öüîìó ïðèêëàä³ íåâëàñíèé ³íòåãðàë º ðîçá³æíèì.
Ïðèêëàäè 9.6.4 – 9.6.5. Îá÷èñëèòè íåâëàñí³ ³íòåãðàëè:
b
e dx = lim e dx = lim − e = lim e − e = 1
0
.
+∞ b
− x − x 0
9.6.4. (
− x) (
− b
∫
∫
)
0
b→+∞ 0
b→+∞ b→+∞
Ðèñ. 9.9
Àíàëîã³÷íî âèçíà÷àºòüñÿ íåâëàñíèé ³íòåãðàë ² ðîäó íà
ïðîì³æêó (–∞, b].
b
( ) = lim ( )
∫ f x dx ∫ f x dx.
−∞
b
B→−∞B
Íåâëàñíèé ³íòåãðàë ç äâîìà íåñê³í÷åííèìè ìåæàìè âèçíà÷àºòüñÿ
ð³âí³ñòþ
+∞ c
+∞
( ) = ( ) + ( )
∫ f x dx ∫ f x dx ∫ f x dx. (9.6.2)
−∞
−∞
c
+∞
dx
0
dx
b
dx
0
b
9.6.5. ∫ = lim lim lim arctg lim arctg
2 ∫ + 1 →−∞ 2 ∫ = + =
1 →+∞ 2
−∞ x + a
a x + b
0 x + 1 a→−∞ a b→+∞
0
⎛ π⎞
π
=−arctg( −∞ ) + arctg( +∞ ) =−⎜− ⎟+ =π.
⎝ 2⎠
2
Ïðèêëàä 9.6.6 (òåîðåòè÷íèé). Âèçíà÷èòè, ïðè ÿêèõ çíà-
÷åííÿõ λ º çá³æíèì íåâëàñíèé ³íòåãðàë:
+∞
dx
I( λ ) = ∫ λ . (9.6.3)
1 x
308 309