ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

3 3 3
( x + 1) dx
π/3 8sin t+
1
π/3 1
π/3
dt
9.5.4. ∫ = ∫ dt = 2 sintdt
2 2
2 ∫ + ∫ =
2
1 x 4 − x π/6 4sin t
π/6 4 π/6sin
t
π
π
3 ⎛1 ⎞ 3 ⎛1 3⎞ 1⎛ 3 ⎞ 7
= ( −2cos t ) − ctg =−2 − − − 3 = 3−1
π
⎜ ⎟
⎝4 t ⎠ π ⎜2 2 ⎟ 4⎜ 3 ⎟ 6
6 6
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
1 π
Çðîáëåíà çàì³íà x = 2sin t ⇒ dx =2costdt, t 1
= arcsin = , 2 6
3 π
t2
= arcsin = . 2 3
9.5.3. Ìåòîä ³íòåãðóâàííÿ ÷àñòèíàìè
Äëÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà ìຠì³ñöå ôîðìóëà ³íòåãðóâàííÿ
÷àñòèíàìè:
b
a
b
a
b
∫udv = uv −∫ vdu . (9.5.5)
a
Òóò u = u(x) i v = v(x) íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâí³ ôóíêö³¿
íà ñåãìåíò³ [a, b].
Ôîðìóëà (9.5.5) âèïëèâຠç â³äïîâ³äíî¿ ôîðìóëè (8.3.10)
äëÿ íåâèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà ³ ôîðìóëè Íüþòîíà — Ëåéáí³öà.
Ïðèêëàä 9.5.5. Îá÷èñëèòè 2 ∫ a ( x+
3)sinaxdx , a ≠ 0.
0
Ðîçâ’ÿçàííÿ
π
⎡u = x+ 3 dv = sinaxdx⎤ x + 3 π
∫ ( x+ 3)sinaxdx = ⎢
⎥
1 =− cosax
2a
+
0
⎢du = dx v =− cos ax⎥
a
⎢⎣
0
a ⎥⎦
2a
1
π /2a ⎛ x + 3 1 ⎞
π
2 1 3 1 3a
cos axdx cos ax sin ax a
+
+ ∫ = ⎜− +
2 ⎟ = + =
2 2
a 0
⎝ a a ⎠ 0 a a a
.
π
ÂÏÐÀÂÈ
Îá÷èñëèòè ³íòåãðàëè:
5
1
dx
9.1. ∫
1 3x
− 2
; 9.2. dz
∫
0 (2z
+ 1)
3
2
dt
; 9.3. ∫ 2
1 t + 5t+ 4
;
2
x + 3
a
x
9.4. ∫ dx
2 ; 9.5. ∫ xcos
dx ;
0 x + 4
−a
a
π
e
x 3x 9.6. cos cos dx
2
∫ ; 9.7. ∫ (1+
ln y)
dy ;
0 2 2
1
1 2
xdx
9.8. ∫ , ï³äñòàíîâêà z = x+
1
4
; 9.9.
0 ( x + 1)
9.10. ∫
7 3
xdx
2
, z = x + 1
3 2 2
3
3
−3
( x + 1)
2 2
9.12. ∫ x 9 − x dx, x = 3cosϕ; 9.13. ∫
9.6. ÍÅÂËÀÑͲ ²ÍÒÅÃÐÀËÈ
ln 2
x
x
∫ e − 1 dx, t = e −1;
0
e 4
1+
lnx ; 9.11. ∫ dx , t = 1+
ln x ;
1 x
π /2
0
dx x
, z = tg .
2+
cosx
2
Ïîíÿòòÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà áóëî ââåäåíî äëÿ ñê³í-
÷åííîãî ïðîì³æêó ³íòåãðóâàííÿ ³ â³ä îáìåæåíî¿ íà öüîìó
ïðîì³æêó ôóíêö³¿ f(õ). ßêùî õî÷ îäíà ç öèõ óìîâ íå âèêîíàíà,
òî âèçíà÷åíèé ³íòåãðàë ÿê ãðàíèöÿ ³íòåãðàëüíî¿
ñóìè íå ³ñíóº. Àëå ïðè ðîçâ’ÿçóâàíí³ ïðàêòè÷íèõ çàäà÷
âèíèêຠíåîáõ³äí³ñòü ðîçãëÿäàòè íåâèçíà÷åí³ ³íòåãðàëè íà
íåñê³í÷åííîìó ïðîì³æêó ³íòåãðóâàííÿ ³ â³ä íåîáìåæåíî¿
ôóíêö³¿. Ó çâ’ÿçêó ç öèì ââîäèòüñÿ ïîøèðåíå ïîíÿòòÿ ³íòåãðàëà
ó âèïàäêàõ íåñê³í÷åííîãî ïðîì³æêó òà íåîáìåæåíî¿
ôóíêö³¿. ²íòåãðàëè â óêàçàíèõ âèïàäêàõ íàçèâàþòüñÿ
íåâëàñíèìè.
9.6.1. Íåâëàñí³ ³íòåãðàëè ² ðîäó
Íåõàé ôóíêö³ÿ f(õ), ÿêà âèçíà÷åíà íà ïðîì³æêó [a,+∞)
³íòåãðîâíà íà áóäü-ÿêîìó ñåãìåíò³ [a, A], äå a < A