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3 3 3<br />
( x + 1) dx<br />
π/3 8sin t+<br />
1<br />
π/3 1<br />
π/3<br />
dt<br />
9.5.4. ∫ = ∫ dt = 2 sintdt<br />
2 2<br />
2 ∫ + ∫ =<br />
2<br />
1 x 4 − x π/6 4sin t<br />
π/6 4 π/6sin<br />
t<br />
π<br />
π<br />
3 ⎛1 ⎞ 3 ⎛1 3⎞ 1⎛ 3 ⎞ 7<br />
= ( −2cos t ) − ctg =−2 − − − 3 = 3−1<br />
π<br />
⎜ ⎟<br />
⎝4 t ⎠ π ⎜2 2 ⎟ 4⎜ 3 ⎟ 6<br />
6 6<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
.<br />
1 π<br />
Çðîáëåíà çàì³íà x = 2sin t ⇒ dx =2costdt, t 1<br />
= arcsin = , 2 6<br />
3 π<br />
t2<br />
= arcsin = . 2 3<br />
9.5.3. Ìåòîä ³íòåãðóâàííÿ ÷àñòèíàìè<br />
Äëÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà ìຠì³ñöå ôîðìóëà ³íòåãðóâàííÿ<br />
÷àñòèíàìè:<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
∫udv = uv −∫ vdu . (9.5.5)<br />
a<br />
Òóò u = u(x) i v = v(x) íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâí³ ôóíêö³¿<br />
íà ñåãìåíò³ [a, b].<br />
Ôîðìóëà (9.5.5) âèïëèâຠç â³äïîâ³äíî¿ ôîðìóëè (8.3.10)<br />
äëÿ íåâèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà ³ ôîðìóëè Íüþòîíà — Ëåéáí³öà.<br />
Ïðèêëàä 9.5.5. Îá÷èñëèòè 2 ∫ a ( x+<br />
3)sinaxdx , a ≠ 0.<br />
0<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ<br />
π<br />
⎡u = x+ 3 dv = sinaxdx⎤ x + 3 π<br />
∫ ( x+ 3)sinaxdx = ⎢<br />
⎥<br />
1 =− cosax<br />
2a<br />
+<br />
0<br />
⎢du = dx v =− cos ax⎥<br />
a<br />
⎢⎣<br />
0<br />
a ⎥⎦<br />
2a<br />
1<br />
π /2a ⎛ x + 3 1 ⎞<br />
π<br />
2 1 3 1 3a<br />
cos axdx cos ax sin ax a<br />
+<br />
+ ∫ = ⎜− +<br />
2 ⎟ = + =<br />
2 2<br />
a 0<br />
⎝ a a ⎠ 0 a a a<br />
.<br />
π<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
Îá÷èñëèòè ³íòåãðàëè:<br />
5<br />
1<br />
dx<br />
9.1. ∫<br />
1 3x<br />
− 2<br />
; 9.2. dz<br />
∫<br />
0 (2z<br />
+ 1)<br />
3<br />
2<br />
dt<br />
; 9.3. ∫ 2<br />
1 t + 5t+ 4<br />
;<br />
2<br />
x + 3<br />
a<br />
x<br />
9.4. ∫ dx<br />
2 ; 9.5. ∫ xcos<br />
dx ;<br />
0 x + 4<br />
−a<br />
a<br />
π<br />
e<br />
x 3x 9.6. cos cos dx<br />
2<br />
∫ ; 9.7. ∫ (1+<br />
ln y)<br />
dy ;<br />
0 2 2<br />
1<br />
1 2<br />
xdx<br />
9.8. ∫ , ï³äñòàíîâêà z = x+<br />
1<br />
4<br />
; 9.9.<br />
0 ( x + 1)<br />
9.10. ∫<br />
7 3<br />
xdx<br />
2<br />
, z = x + 1<br />
3 2 2<br />
3<br />
3<br />
−3<br />
( x + 1)<br />
2 2<br />
9.12. ∫ x 9 − x dx, x = 3cosϕ; 9.13. ∫<br />
9.6. ÍÅÂËÀÑͲ ²ÍÒÅÃÐÀËÈ<br />
ln 2<br />
x<br />
x<br />
∫ e − 1 dx, t = e −1;<br />
0<br />
e 4<br />
1+<br />
lnx ; 9.11. ∫ dx , t = 1+<br />
ln x ;<br />
1 x<br />
π /2<br />
0<br />
dx x<br />
, z = tg .<br />
2+<br />
cosx<br />
2<br />
Ïîíÿòòÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà áóëî ââåäåíî äëÿ ñê³í-<br />
÷åííîãî ïðîì³æêó ³íòåãðóâàííÿ ³ â³ä îáìåæåíî¿ íà öüîìó<br />
ïðîì³æêó ôóíêö³¿ f(õ). ßêùî õî÷ îäíà ç öèõ óìîâ íå âèêîíàíà,<br />
òî âèçíà÷åíèé ³íòåãðàë ÿê ãðàíèöÿ ³íòåãðàëüíî¿<br />
ñóìè íå ³ñíóº. Àëå ïðè ðîçâ’ÿçóâàíí³ ïðàêòè÷íèõ çàäà÷<br />
âèíèêຠíåîáõ³äí³ñòü ðîçãëÿäàòè íåâèçíà÷åí³ ³íòåãðàëè íà<br />
íåñê³í÷åííîìó ïðîì³æêó ³íòåãðóâàííÿ ³ â³ä íåîáìåæåíî¿<br />
ôóíêö³¿. Ó çâ’ÿçêó ç öèì ââîäèòüñÿ ïîøèðåíå ïîíÿòòÿ ³íòåãðàëà<br />
ó âèïàäêàõ íåñê³í÷åííîãî ïðîì³æêó òà íåîáìåæåíî¿<br />
ôóíêö³¿. ²íòåãðàëè â óêàçàíèõ âèïàäêàõ íàçèâàþòüñÿ<br />
íåâëàñíèìè.<br />
9.6.1. Íåâëàñí³ ³íòåãðàëè ² ðîäó<br />
Íåõàé ôóíêö³ÿ f(õ), ÿêà âèçíà÷åíà íà ïðîì³æêó [a,+∞)<br />
³íòåãðîâíà íà áóäü-ÿêîìó ñåãìåíò³ [a, A], äå a < A