ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Öå ³ º ôîðìóëà Íüþòîíà – Ëåéáí³öà, ÿêó íàçèâàþòü îñíîâíîþ
ôîðìóëîþ ³íòåãðàëüíîãî ÷èñëåííÿ. ¯¿ çíà÷åííÿ âåëüìè
âàæëèâå ³, ìàáóòü, íàâ³òü íåîö³íèìå, òîìó ùî âîíà âñòàíîâëþº
çâ’ÿçîê ì³æ íåâèçíà÷åíèìè ³ âèçíà÷åíèìè ³íòåãðàëàìè
³, êð³ì òîãî, äຠêîíñòðóêòèâíèé ìåòîä îá÷èñëåííÿ
³íòåãðàë³â (áåç çíàõîäæåííÿ ãðàíèö³ â³äïîâ³äíèõ ³íòåãðàëüíèõ
ñóì). Ôîðìóëà Íüþòîíà – Ëåéáí³öà º â³íöåì çóñèëü áàãàòüîõ
ìàòåìàòèê³â ³ çàéìຠäîñòîéíå ì³ñöå ñåðåä øåäåâð³â
ìàòåìàòè÷íî¿ äóìêè. Ùîá ï³äêðåñëèòè öå, îäèí ³ç âèäàòíèõ
ðàäÿíñüêèõ ìàòåìàòèê³â Îëåêñàíäð ßêîâè÷ Õ³í÷èí (1894 –
1959) ó ñâî¿õ ëåêö³ÿõ (ïåâíà ð³÷, ï³ñëÿ âèâåäåííÿ ôîðìóëè
Íüþòîíà – Ëåéáí³öà) ãîâîðèâ, ùî ó ïðèñóòí³õ ñòóäåíò³â ñüîãîäí³
âåëèêå ñâÿòî: âîíè îçíàéîìèëèñÿ ç îäíèì ³ç øåäåâð³â
íå ò³ëüêè ìàòåìàòèêè, àëå ³ âñ³º¿ öèâ³ë³çàö³¿. ² ùîá öåé
äåíü ñòàâ äëÿ ñòóäåíò³â ä³éñíî ñâÿòêîâèì, â³í, çàê³í÷óþ÷è
ëåêö³þ, ïðîïîíóâàâ ¿ì â³äì³òèòè éîãî íàëåæíèì ÷èíîì.
9.5. ÎÑÍÎÂͲ ÌÅÒÎÄÈ ÎÁ×ÈÑËÅÍÍß
ÂÈÇÍÀ×ÅÍÈÕ ²ÍÒÅÃÐÀ˲Â
Îñê³ëüêè âèçíà÷åí³ òà íåâèçíà÷åí³ ³íòåãðàëè ïîâ’ÿçàí³
ì³æ ñîáîþ ôîðìóëîþ Íüþòîíà – Ëåéáí³öà, òî ìåòîäè îá÷èñëåííÿ
âèçíà÷åíèõ ³íòåãðàë³â ò³ ñàì³, ùî ³ äëÿ íåâèçíà÷åíèõ
³íòåãðàë³â, à ñàìå: áåçïîñåðåäí³é ìåòîä, ìåòîä çàì³íè àáî
ï³äñòàíîâêè ³ ìåòîä ³íòåãðóâàííÿ ÷àñòèíàìè.
9.5.1. Áåïîñåðåäí³é ìåòîä
³í â îñíîâíîìó áàçóºòüñÿ íà âëàñòèâîñòÿõ 5 òà 7
(ï. 9.3) ³ íà ôîðìóë³ Íüþòîíà – Ëåéáí³öà. Ñóòü öüîãî ìåòîäó
ïîÿñíèìî íà ïðèêëàäàõ. Ïðè öüîìó â³äì³òèìî, ùî íà
ïðàêòèö³ äëÿ çðó÷íîñò³ çàñòîñóâàííÿ ôîðìóëó (9.4.4) çàïèñóþòü
òàê:
Ïðèêëàäè 9.5.1 – 9.5.5.
b
b
( ) = ( ) = ( ) − ( )
∫ f x dx x b a .
a
9.5.1. 3 2 3 2 3
3
3 3
∫3xdx= 3∫xdx= x = 3 − 2 = 19;
2 2 2
a
9.5.2.
4
x
4 4
x x
⎛ ⎞ 4 4
4 4
⎛ x ⎞
4
∫⎜1+ e ⎟dx = ∫dx+ 4∫e d⎜ ⎟= x + 4e = 4+ 4e− 4=
4e 0⎝
⎠
0 0 ⎝4
⎠ 0 0
;
dt
7
= + + = + = − =
3 4 3 3 −1
;
t +
3 3
7 7
1 1
1 2 2 8
−
9.5.3. ∫
∫( 3t 4) 2 d( 3t 4) ( 3t
4) 2 ( 5 1)
−1 −1
9.5.4. ( )
1 3
1
2
1
⎞
x
2 2
1 1⎛
2 2 4
∫ x − 4x dx = ∫⎜x − 4x ⎟dx = x − 4 = − 2=−
;
0 0⎝
⎠ 3 2 3 3
0
π
π
2 2
1 1⎛
1 ⎞ π
∫ cos xdx = ∫ 1+ cos 2x dx = ⎜x + sin 2x
⎟ = .
0 2 0
2⎝
2 ⎠ 4
2
9.5.5. ( )
9.5.2. Ìåòîä çàì³íè çì³ííî¿, àáî ï³äñòàíîâêè
Öåé ìåòîä áàçóºòüñÿ íà òàê³é òåîðåì³.
Òåîðåìà 9.5.1 (ïðî çàì³íó çì³ííî¿ ³íòåãðóâàííÿ). Íåõàé
ôóíêö³ÿ f(õ) íåïåðåðâíà íà ñåãìåíò³ [à, b], à ôóíêö³ÿ
õ = ϕ(t) çàäîâîëüíÿº òàêèì óìîâàì:
1) ϕ(t) âèçíà÷åíà ³ íåïåðåðâíà íà ñåãìåíò³ [α, β] ³ â³äîáðàæàº
ñåãìåíò [α, β] íà ñåãìåíò [à, b];
2) ϕ(α) =à, ϕ(β) =b;
3) ϕ(t) íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâíà íà [α, β].
Òîä³ ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà:
b
a
β
( ) = ⎡ϕ( ) ⎤ϕ′
( )
9
π
2
∫f x dx ∫f⎣ t ⎦ t dt. (9.5.1)
α
Äîâåäåííÿ. Çã³äíî ç ôîðìóëîþ Íüþòîíà — Ëåéáí³öà
ìàºìî:
b
a
( ) = ( ) − ( )
∫ f x dx b a ,
äå (õ) — ïåðâ³ñíà ôóíêö³¿ f(õ) íà [à, b]. Ëåãêî ïåðåêîíàòèñÿ
ó òîìó, ùî ôóíêö³ÿ [ϕ(t)] º ïåðâ³ñíîþ äëÿ ôóíêö³¿
f[[ϕ(t)]⋅ϕ′(t) íà [α, β]. ijéñíî, îñê³ëüêè ′(õ) =f(õ), òî ó â³äïî-
0
302 303