ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Çâ³äñè âèïëèâຠâëàñòèâ³ñòü 7 äëÿ ñóìè. Àíàëîã³÷íî äîâîäèòüñÿ
âëàñòèâ³ñòü 7 äëÿ ð³çíèö³. ×èòà÷åâ³ ïðîïîíóºìî
öå çðîáèòè ñàìîñò³éíî.
8. ßêùî ∀x∈[à, b]: f(õ) ≥ 0 (à < b), òî î÷åâèäíî, ùî
b
( ) 0.
∫ f x dx≥
9. ßêùî ∀x∈[à, b]: f(õ) ≤ g(x) (a < b), òî
b
a
∫f( x) dx ≤ ∫ g( x)
dx .
a
b
a
Öÿ âëàñòèâ³ñòü âèïëèâຠ³ç âëàñòèâîñò³ 7 ³ ïîïåðåäíüî¿.
10. ßêùî ∀x∈[à, b]: m ≤ f(õ) ≤ M (à < b), òî
b
( − ) ≤ ( ) ≤ ( − )
mb a ∫ fxdx Mb a.
a
Öÿ âëàñòèâ³ñòü âèïëèâຠ³ç âëàñòèâîñòåé 6 ³ 9.
Ó âèïàäêó, êîëè f(õ) > 0, öÿ âëàñòèâ³ñòü äîáðå ³ëþñòðóºòüñÿ
ãåîìåòðè÷íî (ðèñ. 9.7): ïëîùà êðèâîë³í³éíî¿ òðàïåö³¿
àÀÂb íå ìåíøà, í³æ ïëîùà ïðÿìîêóòíèêà àÀ 1  1 b, ³ íå á³ëüøà,
í³æ ïëîùà ïðÿìîêóòíèêà àÀ 2  2 b.
b
a
( ) = ( ξ)( − ).
∫ f x dx f b a
Äîâåäåííÿ. Îñê³ëüêè f(õ) íåïåðåðâíà íà ñåãìåíò³
[a, b], òî âîíà äîñÿãຠíà öüîìó ñåãìåíò³ ñâîãî íàéìåíøîãî ³
íàéá³ëüøîãî çíà÷åííÿ m, Ì. Òîä³
àáî
b
( − ) ≤ ( ) ≤ ( − )
mb a ∫ fxdx Mb a,
a
1
b
m≤
∫ f( x)
dx ≤ M.
b−
a a
1
Âåëè÷èíà µ= b
fxdx ( )
b a
∫ íàçèâàºòüñÿ ñåðåäí³ì çíà÷åííÿì
− a
ôóíêö³¿ f(õ) íà ñåãìåíò³ [a, b]. Âíàñë³äîê íåïåðåðâíîñò³
ôóíêö³¿ íà [à, b] ³ñíóº òàêà òî÷êà ξ º [à, b], ùî f(ξ) =µ, òîáòî
1
b
f() ξ = ∫ f() x dx,
b−
a a
ùî é òðåáà áóëî äîâåñòè.
Ãåîìåòðè÷íî öÿ òåîðåìà ³ëþñòðóºòüñÿ íà ðèñ. 9.8. Ïëîùà
êðèâîë³í³éíî¿ òðàïåö³¿ àÀÂb äîð³âíþº ïëîù³ ïðÿìîêóòíèêà
àÀ 1 Âb ç îñíîâîþ b – a ³ âèñîòîþ f(ξ).
Ðèñ. 9.7
Òåîðåìà 9.3.1 (ïðî ñåðåäíº çíà÷åííÿ ôóíêö³¿). ßêùî
ôóíêö³ÿ f(õ) íåïåðåðâíà íà ñåãìåíò³ [a, b], òî íà öüîìó ñåãìåíò³
³ñíóº òàêà òî÷êà ξ, ùî áóäå ñïðàâåäëèâà ð³âí³ñòü
Ðèñ. 9.8
298 299