ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

1.2.7. Ìîäóëü ä³éñíîãî ÷èñëà
Ìîäóëåì ä³éñíîãî ÷èñëà x íàçèâàºòüñÿ ÷èñëî x, ÿêùî
x ≥ 0, ³ ïðîòèëåæíå éîìó ÷èñëî –x, ÿêùî x < 0. Ìîäóëü ÷èñëà
õ ïîçíà÷àºòüñÿ ñèìâîëîì x ³ ÷èòàºòüñÿ “ìîäóëü ÷èñëà õ”.
Îòæå, çà îçíà÷åííÿì
⎧x, x ≥ 0
x = ⎨
⎩ − x, x < 0
.
Ç ãåîìåòðè÷íî¿ òî÷êè çîðó ìîäóëü ÷èñëà x îçíà÷ຠâ³äñòàíü
òî÷êè ÷èñëîâî¿ îñ³ ç àáñöèñîþ õ äî òî÷êè â³äë³êó 0.
Îñíîâí³ âëàñòèâîñò³ ìîäóëÿ ä³éñíîãî ÷èñëà òàê³:
1. x ≤ x .
2. −x ≤ x .
3. x < δ ⇔ − δ < x < δ .
Ñë³ä ñêàçàòè, ùî ïîíÿòòÿ ìîäóëÿ ä³éñíîãî ÷èñëà ³ éîãî
îñíîâí³ âëàñòèâîñò³ âèâ÷àþòüñÿ â êóðñ³ ìàòåìàòèêè ñåðåäíüî¿
øêîëè. Äëÿ âèâ÷åííÿ êóðñó âèùî¿ ìàòåìàòèêè öüîãî
íåäîñòàòíüî. Ðîçãëÿíåìî ³íø³ âëàñòèâîñò³ ìîäóëÿ ÷èñëà.
Äëÿ öüîãî ñôîðìóëþºìî ³ äîâåäåìî òàê³ òåîðåìè.
Òåîðåìà 1.2.2. Ìîäóëü ñóìè äâîõ ÷èñåë õ ³ ó íå ïåðåâèùóº
ñóìè ìîäóë³â öèõ ÷èñåë, òîáòî x + y ≤ x + y .
Äîâåäåííÿ. Ðîçãëÿíåìî äâà âèïàäêè:
1) x+ y≥0 ⇒ x+ y = ( x+ y)
≤ x + y ;
2) x+ y< 0 ⇒ x+ y =− ( x+ y)
≤ x + y .
Ïðè äîâåäåíí³ òåîðåìè ìè ñêîðèñòóâàëèñÿ ïåðøèìè äâîìà
îñíîâíèìè âëàñòèâîñòÿìè ìîäóëÿ ä³éñíîãî ÷èñëà.
Òåîðåìà 1.2.3. Ìîäóëü ð³çíèö³ äâîõ ÷èñåë õ ³ ó á³ëüøå
àáî äîð³âíþº ð³çíèö³ ìîäóë³â öèõ ÷èñåë, òîáòî
x−y ≥ x − y .
Äîâåäåííÿ. Çàïèøåìî î÷åâèäíó òîòîæí³ñòü:
x = ( x− y)
+ y .
Íà îñíîâ³ òåîðåìè 1.2.2 ìàºìî
x = ( x− y)
+ y ≤ x− y + y ,
çâ³äê³ëÿ ³ âèïëèâຠíåð³âí³ñòü, ÿêó òðåáà áóëî äîâåñòè.
Òåîðåìà 1.2.4. Ìîäóëü äîáóòêó äâîõ ÷èñåë õ ³ ó äîð³âíþº
äîáóòêó ìîäóë³â öèõ ÷èñåë, òîáòî
x⋅ y = x ⋅ y .
Öþ òåîðåìó ðåêîìåíäóºìî ÷èòà÷àì äîâåñòè ñàìîñò³éíî.
Äîâåäåííÿ òåîðåìè 1.2.4 ïðîñòå, àëå ïîòðåáóº ðîçãëÿäàííÿ
âñ³õ ìîæëèâèõ âèïàäê³â ³ âèêîðèñòàííÿ îçíà÷åííÿ ìîäóëÿ
÷èñëà.
Òåîðåìà 1.2.5. Ìîäóëü ñòåïåíÿ ÷èñëà õ äîð³âíþº ñòåïåíþ
ìîäóëÿ öüîãî ÷èñëà, òîáòî
n
x
=
Äîâåäåííÿ ö³º¿ òåîðåìè âèïëèâຠ³ç òåîðåìè 1.2.4.
Òåîðåìà 1.2.6. Ìîäóëü ÷àñòêè äâîõ ÷èñåë õ ³ ó (y ≠ 0)
äîð³âíþº ÷àñòö³ ìîäóë³â öèõ ÷èñåë, òîáòî
x
x x
= , y ≠ 0
y y .
x
Äîâåäåííÿ. Çîáðàçèìî ÷èñëî õ òàê: x = y, y ≠ 0. Òîä³ çà
y
òåîðåìîþ 1.2.4
x
x = y ,
y
çâ³äêè îòðèìàºìî ð³âí³ñòü, ÿêó òðåáà áóëî äîâåñòè.
n
.
28 29