ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

[ñ, b] ñåãìåíòà [a, b] ¿õ ìîæå çîâñ³ì íå áóòè. ßñíî, ùî ïðè
òàêîìó çá³ëüøåíí³ n òî÷í³ñòü íàáëèæåíî¿ ôîðìóëè (9.1.1) º
ïðîáëåìàòè÷íîþ. Îòæå, ãîëîâíèì â óòî÷íåíí³ ôîðìóëè
(9.1.1) º òå, ùîá óñ³ ∆x i (i =1,n) áóëè ñïðÿìîâàí³ äî íóëÿ.
Ðèñ. 9.3
Ç ðèñ. 9.3 âèäíî, ùî ïëîùà åëåìåíòàðíî¿ êðèâîë³í³éíî¿
ñìóãè x i-1 A i-1 A i x i á³ëüøà ïëîù³ ïðÿìîêóòíèêà x i-1 A i-1 B i x i ³ â
ñâîþ ÷åðãó âîíà ìåíøà ïëîù³ ïðÿìîêóòíèêà x i-1 B i-1 A i x i , òîáòî
ìຠì³ñöå ïîäâ³éíà íåð³âí³ñòü
( ) ( )
f xi− 1
∆ xi < Si < f xi ∆ xi. (9.1.2)
²ç ïîäâ³éíî¿ ð³âíîñò³ (9.1.2) âèïëèâຠòàêà:
( −1) ( ( ) ( −1)
)
0 < S −f x ∆ x < f x − f x ∆ x . (9.1.3)
i i i i i i
Îñê³ëüêè çà ïðèïóùåííÿì ôóíêö³ÿ f(x) äèôåðåíö³éîâíà
íà [a, b], òî íà ñåãìåíò³ [x i-1 , x i ] äî íå¿ ìîæíà çàñòîñóâàòè
ôîðìóëó Ëàãðàíæà:
( ) ( ) ( )
i
−
i− 1
= ′
i
∆
i.
f x f x f c x
Âðàõîâóþ÷è öå, ïîäâ³éíà íåð³âí³ñòü (9.1.3) íàáóâຠâèãëÿäó:
( ) ( )( ) 2
1
0 < S −f x ∆ x < f c ∆x
.
′
i i− i i i
Òåïåð ñòຠî÷åâèäíèì, ùî äëÿ òîãî ùîá óòî÷íèòè íàáëèæåíó
ôîðìóëó, òðåáà, ùîá óñ³ âåëè÷èíè ∆x i çìåíøóâàëèñÿ.
Çàóâàæèìî ïðè öüîìó, ùî çá³ëüøåííÿ ê³ëüêîñò³ n ÷àñòèííèõ
cåãìåíò³â íà ñóòòºâå óòî÷íåííÿ ìîæå ³ íå âïëèíóòè
(ðèñ. 9.4). ijéñíî, íà ÷àñòèí³ [a, c] ñåãìåíòà [a, b] òî÷îê
ðîçáèòòÿ R ìîæå áóòè ÿê çàâãîäíî áàãàòî, à íà ÷àñòèí³
Ðèñ. 9.4
ßê öå çä³éñíèòè? Ìîæíà çä³éñíèòè öå òàê: ââåñòè â ðîçãëÿä
âåëè÷èíó ρ= max∆x i (ìàêñèìóì äîâæèíè óñ³õ ÷àñòèííèõ
ñåãìåíò³â) ³ ñïðÿìóâàòè ¿¿ äî íóëÿ. Î÷åâèäíî, ùî ïðè
i=
1, n
öüîìó óñ³ ∆x i ( i = 1, n) òåæ ïðÿìóþòü äî íóëÿ.
Òåïåð ç’ÿñóºìî, ùî æ ìè áóäåìî ðîçóì³òè ï³ä ïëîùåþ
êðèâîë³í³éíî¿ òðàïåö³¿.
Îçíà÷åííÿ 9.1.1. Çà ïëîùó êðèâîë³í³éíî¿ òðàïåö³¿ áóäåìî
ââàæàòè ãðàíèöþ ïîñë³äîâíîñòåé ïëîù ñõ³ä÷àñòèõ ô³ãóð
(ðèñ. 9.2), ÿêùî ìàêñèìàëüíà äîâæèíà ÷àñòèííèõ ñåãìåíò³â
ïðÿìóº äî íóëÿ, òîáòî
ρ→ 0 i=
1
( )
S= lim∑ n f ξ . i
∆xi (9.1.4)
9.1.2. Çàäà÷à ïðî ðîáîòó çì³ííî¿ ñèëè
Íåõàé âçäîâæ îñ³ Îõ 䳺 ñèëà Ð(õ), íàïðÿì ÿêî¿ ñòàëèé
³ çá³ãàºòüñÿ ç íàïðÿìîì îñ³ Îõ. Êð³ì òîãî, ñèëà íåïåðåðâíî
çì³íþºòüñÿ çà âåëè÷èíîþ. Íåõàé ï³ä 䳺þ ñèëè Ð(õ) ìàòå-
288 289