ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

6 4 1 1 1 5 1 3
= ∫t − dt+ ∫t − dt = − − + C = C− tg
− x−
tg
− x .
5 3
5t
3t
5 3
(m, n — ö³ë³, m < 0 (äîð³âíþº –6))
2
+ −
2
8.6.4. ( t ) ( t )
5 3 1 3
2 2 2 4 6
dx 1+ 1+ 1+ 3t + 3t + t
∫ = dt dt dt
5 3 ∫ =
5 ∫ =
5 ∫
=
5
sin xcos
x t t t
1
= + + + =
m =− n =− ⇒ t = x t
−5 −3
3 3
5, 3 tg
∫t dt ∫t dt ∫ dt ∫tdt
1 1 1 −4 3 −2 1 2
3ln
2
1
1+ ctg x
4 2 2
⎛ 1 ⎞2
⎜ +
2 ⎟
⎝ t ⎠
1 1
x = =
2
1
1+
tg x
2 2
( 1+
t )
dt
= +
sin x = = =− t − t + t + t + C =
cos
dx
1
t
8.6.5.
2
1 1 3 1
= x+ x − x− x+
C
2 2 4
2 2 4
tg 3ln tg ctg ctg .
3x
3 2
e dx x z dz z dz ⎛ 1 ⎞
∫ = ⎡z = e ⎤ = 1 dz
2x
∫ = ∫ = − =
2 2
e + 1 ⎣ ⎦
z z + 1
∫⎜
z + 1
⎟
+ ⎝ ⎠
2
( z 1)
dz
x
x
= ∫dz − ∫ = z − arctgz + C = e − arctge + C
2
.
z + 1
8.58.
8.61.
8.64.
dx
∫
1+
tgx
2t
t
e − 2e ∫ 2t
dt
1+
e
⎛
∫ ⎜
⎝N
+ 1
; 8.59. 5
∫ sin xdx
; 8.60. ∫ cos 6 xdx ;
3
; 8.62. ∫ cos xsin
xdx ; 8.63. ∫ cos xcos 7xdx ;
+
N
x N M N 2
+ + + M dx
N + 1 N
⎟
X
x
⎞
⎠
−
; 8.65. ( ) 7
∫ Nx + M dx ;
8.66. ∫ dx
2 2
sin Nx cos Nx
; 8.67. N
sin cos
2 N+
∫ x
1 xdx;
2 2
2 2
8.68. ∫ N − x dx; 8.69. ∫ sin x N − cos x dx;
8.70.
8.73.
3x
e dx
∫ x
e + N
∫
2
xdx
; 8.71. ∫
2 4 ; 8.72.
N − x
( Mx + )
x
N
∫ dx ;
x
N dx
2 2
x + 2Nx + N + 1
; 8.74. dx
∫
;
Mcos x + Nsin
x
8.75. ∫ sin Mx cos Nxdx ; 8.76. ∫ cos Mx cos Nx dx ;
N
8.77. ∫ x ln( Mx)
dx; 8.78. ∫ xsin( Nx)
dx;
ÂÏÐÀÂÈ
Çíàéòè ³íòåãðàëè:
8.52.
8.55.
cos x
∫ dx ;
1+
cosx
8.53.
dx
∫
;
4cosx
+ 3sinx
8.56.
dx
dx
∫ ; 8.54. ∫ ;
3
sin7x
sin x
x
e −1
∫ dx
x
e + 1
; 8.57. 5
∫ tg xdx ;
8.79. ∫ xcos
Mxdx; 8.80.
2
Mx + Nx + ( M + N)
∫
;
( x −1)( x −2)( x −3)
dx
( Mx + N)
dx
( Mx + N)
dx
8.81. ∫ 3 2 ; 8.82. ∫ 2 2 2 .
x − ( M + N)
x + MNx
( x + 5 )
Ïðèì³òêà. Ïðè âèêîíàíí³ âïðàâ 8.64 – 8.78 ÷èòà÷ ïîâèíåí
çàì³ñòü ïàðàìåòð³â N ³ M ï³äñòàâèòè â³äïîâ³äíî ÷èñëî
³ ì³ñÿöü äàòè ñâîãî íàðîäæåííÿ.
284 285