ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

8.48.
∫
dx
2
( 5 − x ) 3
8.51. 2 2
∫ x 4 − x dx .
; 8.49.
∫
2
2
xdx
2
x + 2x+ 3
; 8.50. x + 4x
∫
dx ;
2
x + 2x+
2
8.6. ²ÍÒÅÃÐÓÂÀÍÍß ÂÈÐÀÇ²Â Ç ÒÐÈÃÎÍÎ-
ÌÅÒÐÈ×ÍÈÌÈ ÔÓÍÊÖ²ßÌÈ
Äî ³íòåãðàë³â â³ä ðàö³îíàëüíèõ ôóíêö³é çâîäÿòüñÿ òàê³
³íòåãðàëè â³ä òðèãîíîìåòðè÷íèõ âèðàç³â, äå R — ðàö³îíàëüíà
ôóíêö³ÿ:
1. ∫ R( sin x,cos
x)
dx — óí³âåðñàëüíîþ òðèãîíîìåòðè÷íîþ
2
x
2z
1 − z
ï³äñòàíîâêîþ z = tg . Ïðè öüîìó sin x =
2
2 , cosx
=
2 ,
1 + z
1 + z
2dz
dx = (äèâ. äîä. 2).
2
1 + z
2. ∫ R( tg x)
dx — ï³äñòàíîâêîþ z =tgx. Ïðè öüîìó
dz
x = arctg z, dx =
2 .
1 + z
 îêðåìèõ âèïàäêàõ:
∫ R( sin x)
cos xdx ï³äñòàíîâêîþ t = sin x çâîäèòüñÿ äî ∫ Rtdt () ;
∫ R( cos x)
sin xdx ï³äñòàíîâêîþ t = cos x çâîäèòüñÿ äî ∫ Rtdt () .
²íòåãðàëè â³ä äîáóòêó ñèíóñà ³ êîñèíóñà ∫ sin px cos qxdx ,
∫ cos px cos qxdx , ∫ sin pxsin
qxdx çíàõîäÿòüñÿ çà ôîðìóëàìè ³íòåãðóâàííÿ
ï³ñëÿ çàñòîñóâàííÿ â³äîìèõ ç êóðñó ìàòåìàòèêè
ñåðåäíüî¿ øêîëè ôîðìóë:
1
sin xcos y = ( sin ( x + y) + sin ( x − y)
),
2
1
sin xsin y = ( cos( x − y) − cos( x + y)
),
2
1
cos xcos y = ( cos ( x + y) + cos ( x − y)
).
2
²íòåãðàëè, ùî ì³ñòÿòü äîáóòîê ñèíóñ³â ³ êîñèíóñ³â â ö³ëèõ
ñòåïåíÿõ ∫ sin xcos
xdx , çðó÷íî ³íòåãðóâàòè, âèêîðèñòî-
m n
âóþ÷è òàê³ ï³äñòàíîâêè:
1) ÿêùî m ³ n — äîäàòí³ àáî â³ä’ºìí³ ³ n — íåïàðíå, òî
t = sin x; ÿêùî m — íåïàðíå, òî t = cos x;
2) ÿêùî m ³ n — ïàðí³ ³ îäíå ³ç íèõ â³ä’ºìíå àáî îäíàêîâî¿
ïàðíîñò³ ³ â³ä’ºìí³, òî t =tgx.
x
³äçíà÷èìî òàêîæ, ùî ³íòåãðàëè âèãëÿäó ∫ Re ( ) dx ï³äñòàíîâêîþ
z = e x (ïðè öüîìó x =lnz, dx = ) çâîäÿòüñÿ äî ³í-
dz
z
òåãðàë³â â³ä ðàö³îíàëüíèõ ôóíêö³é.
Ïðèêëàäè 8.6.1 – 8.6.5.
8.6.1.
8.6.2.
d( z+
2)
( )
dx ⎡ x⎤
2dz
∫ = z = tg = ∫ = 2
2 ∫
=
2
2sinx− cosx ⎢
2
⎥
⎣ ⎦ z + 4z−1 z + 2 −5
x
2− 5 + tg
1 z + 2−
5 1
= ln
+ C = ln
2
+ C.
5 z + 2+ 5 5 x
2+ 5 + tg
2
4
( −1)
3
tgxdx
z dz 1 dz
∫ = tg
2 ⎣⎡z= x⎦⎤= ∫ =
4 ∫ =
4
1−ctg
x z −1 4 z −1
1 4 1 4
= ln z − 1 + C = ln tg x − 1 + C.
4 4
2 2
2
cos x 1 ⎛ 1 ⎞ dt 1+
t
∫ dx = t = tgx = 1+ = =
6 ∫ 2 ⎜ 2 ⎟ 2 ∫ dt
6
sin x t ⎝ t ⎠ 1+
t t
8.6.3. [ ]
282 283