ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

8.5. ²ÍÒÅÃÐÓÂÀÍÍß ÄÅßÊÈÕ
²ÐÐÀÖ²ÎÍÀËÜÍÈÕ ÔÓÍÊÖ²É
²ððàö³îíàëüí³ ôóíêö³¿ ³íòåãðóþòüñÿ â åëåìåíòàðíèõ
ôóíêö³ÿõ ò³ëüêè ó äåÿêèõ ïåâíèõ âèïàäêàõ. Íàéá³ëüø çàñòîñîâóþòüñÿ
òàê³ âèäè ³íòåãðàë³â â³ä ³ððàö³îíàëüíèõ ôóíêö³é,
ÿê³ âèðàæàþòüñÿ ÷åðåç åëåìåíòàðí³ ôóíêö³¿.
α β
8.5.1. ²íòåãðàëè âèäó ∫ Rxx ( , , x, K)
dx
(R — ðàö³îíàëüíà ôóíêö³ÿ,
2
β= , ... — ðàö³îíàëüí³
÷èñëà).
m
n
1
α= ,
1
m
n
Óêàçàí³ ³íòåãðàëè çâîäÿòüñÿ äî ³íòåãðàë³â â³ä ðàö³îíàëüíèõ
ôóíêö³é ³, îòæå, âèðàæàþòüñÿ â åëåìåíòàðíèõ ôóíêö³ÿõ
çà äîïîìîãîþ ï³äñòàíîâêè x = t k , äå k — çàãàëüíèé çíàìåííèê
óñ³õ äðîáîâèõ ïîêàçíèê³â ó x.
²íòåãðàëè á³ëüø çàãàëüíîãî âèäó
( ,( ) α
β
+ ,( + ) , K)
∫ R x ax b ax b dx
α
β
⎛ ⎛ax + b ⎞ ⎛ax + b ⎞ ⎞
àáî ∫ R x, ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , K
dx
⎜ ⎝cx + d ⎠ ⎝cx + d ⎠ ⎟
⎝
⎠
çíàõîäÿòüñÿ (çâîäÿòüñÿ äî ðàö³îíàëüíîãî âèäó) çà äîïîìîãîþ
àíàëîã³÷íèõ ï³äñòàíîâîê: ax + b = t àáî = t .
k ax + b k
cx + d
8.5.2. ²íòåãðàëè ç ðàäèêàëàìè
Äî ³íòåãðàë³â â³ä ôóíêö³é, ùî ðàö³îíàëüíî çàëåæàòü â³ä
òðèãîíîìåòðè÷íèõ ôóíêö³é, çâîäÿòüñÿ ³íòåãðàëè:
( ,
2
−
2)
( ,
2
+
2)
( ,
2
−
2)
∫ R x a x dx — ï³äñòàíîâêîþ x = a sin t;
∫ R x a x dx — ï³äñòàíîâêîþ x = a tg t;
∫ R x x a dx — ï³äñòàíîâêîþ x = a sec t.
2
Ïðèêëàä 8.5.1. Çíàéòè ³íòåãðàë:
∫
Ðîçâ’ÿçàííÿ
dx
x +
6 5 3 3
dx ⎡x = t , dx = 6 t dt; ⎤ t t + 1−1
2
∫ = ⎢
⎥ = 6∫ dt = 6∫ dt = 6∫( t − t + 1)
dt −
3 3 3 2
x + x ⎢⎣
x = t , x = t ⎥⎦
t+ 1 t+
1
− dt 3 2 3 6 6
6∫
2 3 6 6ln 1 2 3 6 6ln 1
1
= t − t + t − t + + C
+
= x − x + x − x + + C .
t
Ïðèêëàä 8.5.2. Çíàéòè ³íòåãðàë:
∫
2
( ) 3
3
.
x
4 − x ⎡x = 2sin t, dx = 2cos tdt,
⎤
dx = =
6 ⎢
⎥
2
x ⎢⎣
4− x = 2cos t.
⎥⎦
2
( − ) 3
t 4 4
t t
4 4sin 1 cos 1 ctg
= ∫ 2costdt =
6 ∫ dt =
6 ∫ dt =
2
64sin t 4 sin t 4 sin t
ÂÏÐÀÂÈ
∫
2
( 4 − x ) 5
1 1
td t t C C .
4 20 20x
4 5
=− ∫ ctg ctg =− ctg + =− +
5
( −1)
dx d x
= ∫
= ln x− 1+ ( x−1) 2
− 1 + C
2 2
.
x − 2x x −1 −1
Çíàéòè ³íòåãðàëè:
8.45.
∫
dx
3
( 1+
x )
( )
1 x − 2
; 8.46.
x ∫ x 3−
xdx ; 8.47. ∫ dx ;
x x
280 281