ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

ä) ðîçâ’ÿçàòè ñèñòåìó ³ ï³äñòàâèòè çíàéäåí³ çíà÷åííÿ A 1 ,
..., B 1 , ..., C 1 , ..., D 1 , ..., D r äî â³äïîâ³äíî¿ ôîðìóëè ðîçêëàäàííÿ.
ϳñëÿ ðîçêëàäàííÿ íà åëåìåíòàðí³ äîäàíêè äðîáó, ³íòåãðóâàííÿ
óñÿêîãî ïðàâèëüíîãî ðàö³îíàëüíîãî äðîáó çâîäèòüñÿ
äî çíàõîäæåííÿ ³íòåãðàë³â âèäó:
dx
Mx + N
I1
= ∫ ³ I
( x−
a) m 2
= ∫
dx
2
,
( x + px+
q) n
ïðî ÿê³ âæå éøëîñÿ.
Ïðèêëàä 8.4.1. Çíàéòè ³íòåãðàë:
∫
− 4 + 3 + 6 −1
dx .
x − 5x + 6x
4
x
3
x
2
x x
3 2
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ïðèâîäèìî íåïðàâèëüíèé äð³á äî ïðàâèëüíîãî
çà äîïîìîãîþ ä³ëåííÿ çâè÷àéíèì “ñòîâï÷èêîì”
x 4 − 3 2 2
4 x + 3 x + 6 x− 1 2 1
= x + 1+
x −
− 5 + 6 − 5 + 6
à) ðîçêëàäàºìî çíàìåííèê íà ìíîæíèêè
3 2 3 2
x x x x x x
3 2 3
x − 5x + 6 x = x( x − 5x+ 6) = x( x−2)( x− 3) ;
á) çàïèñóºìî ðîçêëàäàííÿ ðàö³îíàëüíîãî äðîáó
2
2x −1
A B C
= + +
3 2
;
x − 5x + 6x
x x−2 x−3
â) çâ³ëüíÿºìîñÿ â³ä çíàìåííèê³â
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 1 5 6 3 2
x − = A x − x+ + B x − x + C x − x ;
ã) ñêëàäàºìî ñèñòåìó ð³âíÿíü, ïðèð³âíþþ÷è êîåô³ö³ºíòè
ïðè îäíàêîâèõ ñòåïåíÿõ x çë³âà ³ ñïðàâà. À ñàìå:
;
ä) ðîçâ’ÿçóºìî îäåðæàíó ñèñòåìó çà ôîðìóëàìè Êðàìåðà
1 1 1 2 1 1
1 1 1 1
∆= 5 3 2 = 6 =−6, ∆
A
= 0 3 2 =− = 1,
3 2 3 2
6 0 0 −1 0 0
1 2 1 1 1 2
∆
B
= 5 0 2 = 21, ∆
C
= 5 3 0 =−34
,
6 −1 0 6 0 −1
A 1 B 7 C 17
A= ∆ =− , B = ∆ =− , C = ∆ = .
∆ 6 ∆ 2 ∆ 3
ßñíî, ùî ñèñòåìó ìîæíà ðîçâ’ÿçàòè é ³íøèìè ìåòîäàìè.
Îñòàòî÷íî îòðèìàºìî
x 4 3 2
− 4 x + 3 x + 6 x −1 1 7 17
∫ dx =
3 2
∫( x + 1)
dx − ∫ dx − ∫ dx + ∫
dx =
x − 5x + 6x
6 x 2 x−2 3 x−3
ÂÏÐÀÂÈ
1 2 1 7 17
= x + x− ln x − ln x− 2 + ln x− 3 + c .
2 6 2 3
Çíàéòè ³íòåãðàëè:
8.39.
8.41.
∫
∫
2
xdx
( x+ 1) ( x+
4)
2 2
4
xdx
2
( x − 1)( x+
2)
; 8.40.
; 8.42.
3x
+ 2
∫
x x
( + 1) 3
5
xdx
3
∫
x − 1
;
dx ;
2
x : ⎧ A+ B+ C = 2,
1 ⎪
x : ⎨5A+ 3B+ 2C
= 0,
0
x : ⎪
⎩ 6A=−1;
8.43.
∫
x +
4
3
2
8
3
x +
2
x + x
dx ; 8.44.
∫
x + x +
4 2
x + 3x
5 3
2 6 1
dx .
278 279