You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Òàêèì ÷èíîì, áóäü-ÿêå ³ððàö³îíàëüíå ÷èñëî ìîæíà íàáëèçèòè<br />
ç áóäü-ÿêîþ íàïåðåä çàäàíîþ òî÷í³ñòþ ðàö³îíàëüíèìè<br />
÷èñëàìè.<br />
1.2.6. ×èñëîâà â³ñü<br />
Êîæíå ö³ëå ÷èñëî íà ïðÿì³é ë³í³¿ ìîæå áóòè çîáðàæåíå<br />
ÿê ïåâíà òî÷êà ö³º¿ ïðÿìî¿. Ñïðàâä³, â³çüìåìî äîâ³ëüíó ãîðèçîíòàëüíó<br />
ïðÿìó õ ³ íà í³é çàô³êñóºìî òî÷êó 0. Òî÷êó 0<br />
íàçâåìî ïî÷àòêîì êîîðäèíàò (â³ä ëàòèíñüêîãî ñëîâà<br />
“Origen”, ùî îçíà÷ຠïî÷àòîê). Ö³é òî÷ö³ ïîñòàâèìî ó â³äïîâ³äí³ñòü<br />
÷èñëî 0. Ïîò³ì â³çüìåìî â³äð³çîê, äîâæèíà ÿêîãî<br />
äîð³âíþº îäèíèö³ (íàïðèêëàä, îäèí ñàíòèìåòð, îäèí ìåòð àáî<br />
ÿêàñü ³íøà îäèíèöÿ âèì³ðó). Âêàçàíèé â³äð³çîê ùå íàçèâàþòü<br />
ìàñøòàáîì, à éîãî äîâæèíó îäèíèöåþ âèì³ðó. Òî÷êà 0<br />
ïîä³ëÿº ïðÿìó íà äâà ïðîìåí³. Îäèí ç öèõ ïðîìåí³â ââàæàþòü<br />
äîäàòíèì, à äðóãèé — â³ä’ºìíèì. Äîäàòíèì, ÿê ïðàâèëî,<br />
íàçèâàþòü òîé ïðîì³íü, ùî âèõîäèòü ç òî÷êè 0 ³ íàïðÿìëåíèé<br />
âïðàâî.<br />
Îçíà÷åííÿ. Ïðÿìà ë³í³ÿ, íà ÿê³é âèáðàíî íóëüîâó òî÷êó<br />
(ïî÷àòîê êîîðäèíàò), äîäàòíèé íàïðÿì ³ ìàñøòàá íàçèâàºòüñÿ<br />
êîîðäèíàòíîþ ïðÿìîþ. Òàêèì ÷èíîì, ïðÿìà õ (ðèñ. 1.1)<br />
º êîîðäèíàòíîþ ïðÿìîþ. Òåïåð, ùîá çîáðàçèòè ö³ëå ÷èñëî m<br />
íà êîîðäèíàòí³é ïðÿì³é, òðåáà îäèíèöþ äîâæèíè â³äêëàñòè<br />
m ðàç³â â³ä íóëüîâî¿ òî÷êè âïðàâî, ÿêùî m > 0, ³ âë³âî ⏐m⏐<br />
ðàç³â, ÿêùî m < 0. ʳíöåâà òî÷êà â³äïîâ³äíîãî â³äð³çêó áóäå<br />
çîáðàæåííÿì ö³ëîãî ÷èñëà m (ðèñ. 1.1).<br />
Ðèñ. 1.1<br />
Ïåðåéäåìî äî çîáðàæåííÿ ðàö³îíàëüíèõ ÷èñåë. Äëÿ çíàõîäæåííÿ<br />
íà êîîðäèíàòí³é ïðÿì³é òî÷êè, ÿêà â³äïîâ³äàº<br />
÷èñëó m , òðåáà ïîä³ëèòè çàäàíó îäèíèöþ äîâæèíè íà n<br />
n<br />
ð³âíèõ ÷àñòèí (íàïðèêëàä, çà äîïîìîãîþ òåîðåìè Ôàëåñà 1 )<br />
1<br />
Ôàëéñ ̳ëåòñüêèé (640–548 äî í.å.) — äàâíüîãðåöüêèé â÷åíèé<br />
ìàòåð³àë³ñò, ðîäîíà÷àëüíèê ãðåöüêî¿ ìàòåìàòèêè.<br />
³ â³äêëàñòè m ðàç³â îäåðæàíó ÷àñòèíó âïðàâî, ÿêùî m > 0, ³<br />
⏐m⏐ ðàç³â — âë³âî, ÿêùî m < 0. ³äïîâ³äíó òî÷êó êîîðäèíàòíî¿<br />
ïðÿìî¿ ³ ââàæàþòü çîáðàæåííÿì ÷èñëà m n . Òî÷êè<br />
ïðÿìî¿ õ, ÿê³ º çîáðàæåííÿì ðàö³îíàëüíèõ ÷èñåë, íàçèâàþòü<br />
ðàö³îíàëüíèìè òî÷êàìè. Îòæå, êîæíîìó ðàö³îíàëüíîìó ÷èñëó<br />
íà ïðÿì³é â³äïîâ³äຠö³ëêîì âèçíà÷åíà òî÷êà. Îäíàê âèíèêàº<br />
çàïèòàííÿ: ÷è êîæí³é òî÷ö³ ïðÿìî¿ õ â³äïîâ³äຠðàö³îíàëüíå<br />
÷èñëî? Ùîá â³äïîâ³ñòè íà öå çàïèòàííÿ, ðîçãëÿíåìî<br />
êëàñè÷íèé ïðèêëàä. Íà ïðÿì³é õ ïîáóäóºìî êâàäðàò, äîâæèíà<br />
ñòîðîíè ÿêîãî äîð³âíþº îäèíèö³ (ðèñ. 1.1). Ïîò³ì ïðîâåäåìî<br />
äóãó êîëà ç öåíòðîì ó òî÷ö³ 0 ³ ðàä³óñîì äîâæèíè<br />
2 . Â ðåçóëüòàò³, äóãà ïåðåòíå ïðÿìó õ â òî÷ö³ Ì. Òàêèì<br />
÷èíîì, òî÷ö³ Ì íå â³äïîâ³äຠðàö³îíàëüíå ÷èñëî.  ï. 1.2.4<br />
öåé ôàêò áóëî äîâåäåíî.<br />
Öèì ñàìèì ïîêàçàíî, ùî ì³æ ìíîæèíîþ ðàö³îíàëüíèõ<br />
÷èñåë ³ ìíîæèíîþ òî÷îê êîîðäèíàòíî¿ ïðÿìî¿ íå ³ñíóº âçà-<br />
ºìíî îäíîçíà÷íî¿ â³äïîâ³äíîñò³. Íà ïðÿì³é õ, êð³ì ðàö³îíàëüíèõ<br />
òî÷îê, º ùå ³íø³. Ö³ òî÷êè íàçèâàþòü ³ððàö³îíàëüíèìè.<br />
Ïðè öüîìó â á³ëüø çàãàëüíèõ êóðñàõ ìàòåìàòè-<br />
÷íîãî àíàë³çó äîâîäèòüñÿ, ùî, ïî-ïåðøå, êîæíîìó<br />
³ððàö³îíàëüíîìó ÷èñëó â³äïîâ³äຠëèøå îäíà òî÷êà; ïî-äðóãå,<br />
ñóêóïí³ñòü ðàö³îíàëüíèõ é ³ððàö³îíàëüíèõ òî÷îê ïîâí³ñòþ<br />
çàïîâíþº êîîðäèíàòíó ïðÿìó; ïî-òðåòº, ì³æ òî÷êàìè<br />
ïðÿìî¿ ³ ìíîæèíîþ ä³éñíèõ ÷èñåë ³ñíóº âçàºìîîäíîçíà÷íà<br />
â³äïîâ³äí³ñòü: êîæí³é òî÷ö³ êîîðäèíàòíî¿ ïðÿìî¿ â³äïîâ³äàº,<br />
ä³éñíå ÷èñëî ³, íàâïàêè, êîæíîìó ä³éñíîìó ÷èñëó â³äïîâ³äàº<br />
òî÷êà êîîðäèíàòíî¿ ïðÿìî¿. Òîìó ä³éñí³ ÷èñëà îòîòîæíþþòüñÿ<br />
ç â³äïîâ³äíèìè òî÷êàìè êîîðäèíàòíî¿ ïðÿìî¿, à ñàìó<br />
êîîðäèíàòíó ïðÿìó íàçèâàþòü ÷èñëîâîþ (ä³éñíîþ) â³ññþ.<br />
Ïðè öüîìó ÷èñëî, ÿêå â³äïîâ³äຠòî÷ö³, íàçèâàºòüñÿ êîîðäèíàòîþ<br />
ö³º¿ òî÷êè íà ä³éñí³é îñ³ õ.<br />
Íàäàë³, çàì³ñòü ôðàçè “ä³éñíå ÷èñëî õ, àáî ïðîñòî ÷èñëî<br />
õ” áóäåìî âèêîðèñòîâóâàòè ôðàçó “òî÷êà õ” ³, íàâïàêè, çàì³ñòü<br />
ôðàçè “òî÷êà õ” áóäåìî âèêîðèñòîâóâàòè ôðàçó “÷èñëî<br />
õ”.<br />
26 27
Change language