ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Ïåðøèé òèï äîäàíê³â ³íòåãðóºòüñÿ äîñòàòíüî ïðîñòî:
( x−
a)
− m+
1
⎧
A ⎪ A + C, m≠1;
∫ dx =
m ⎨ − m + 1
( x− a)
⎪
⎩ Aln x− a + C, m=
1.
Ùîäî ³íòåãðàë³â â³ä äîäàíê³â äðóãîãî òèïó, òî âîíè çà
p
äîïîìîãîþ ï³äñòàíîâêè t = x + çâîäÿòüñÿ äî òàáëè÷íèõ
2
³íòåãðàë³â òà ³íòåãðàë³â ñïåö³àëüíî¿ ñòðóêòóðè, à ñàìå:
dt
I = ∫ , a ≠0, n∈N.
n
2 2
( t + a )
Ïðè n = 1 ìàºìî òàáëè÷íèé ³íòåãðàë:
n
dt 1 t
I = 1 ∫ 2 2 arctg C .
t + a
= a a
+
À òåïåð ïðè íàòóðàëüíèõ n > 1 îòðèìàºìî ðåêóðåíòíó
ôîðìóëó:
−n
2 2
( ) , ⎤
2
⎥
2n
−n−1
2 2
⎥
∫
( ) ( ) ( )
⎡
dt u = t + a dv = dt t t
In =
⎢
∫ = = + =
n n n 1
2 2 ⎢
+
2 2 2 2
( t + a ) ⎢du =− 2 nt t + a dt,
v = t⎥
t + a t + a
⎣
⎦
+ −
= + = + ⋅ − ⋅
Çâ³äñè
2 2 2
t t a a t
2
2n 2
n
2
n 1.
n ∫ dt n I na I
n n
+
( 2 2 ) ( 2 2 + 1
t + a t + a ) ( t 2 + a
2
)
I
t 2n−1 = + In
.
2na t a 2na
( + )
n+
1
2 2 2
n 2
ϳäñóìîâóþ÷è âèùåñêàçàíå ìîæíà êîíñòàòóâàòè, ùî ðàö³îíàëüí³
ôóíêö³¿ çàâæäè ³íòåãðóþòüñÿ â åëåìåíòàðíèõ
ôóíêö³ÿõ. Ïðàêòè÷íå çä³éñíåííÿ öüîãî ôàêòó çâîäèòüñÿ äî
ïðîáëåìè ðîçêëàäàííÿ ïðàâèëüíîãî ðàö³îíàëüíîãî äðîáó íà
åëåìåíòàðí³ äîäàíêè. Äëÿ öüîãî ïîòð³áíî:
à) ðîçêëàñòè çíàìåííèê q n (x) íà íàéïðîñò³ø³ ìíîæíèêè.
 çàãàëüíîìó âèïàäêó öå ðîçêëàäàííÿ ìîæå ì³ñòèòè ñòåïåí³
ë³í³éíèõ ³ êâàäðàòè÷íèõ ìíîæíèê³â
q x a x a x b x px q x ex d ;
2 2
( ) =
0
( − ) m K( − ) k ( + + ) s K( + + )
r
n
á) çàïèñàòè ðîçêëàäàííÿ äàíîãî äðîáó íà åëåìåíòàðí³
äîäàíêè äðîáó â òàêîìó âèãëÿä³:
( ) A1 A2 B1 B2
p x A B
q x = x a + + K+ + K+ x b
+ + K+
+
m m k
2 m
2
k
n
( ) − ( x−a) ( x−a) − ( x−b) ( x−b)
Mx
1
+ N1 Mx
2
+ N2 Mx
s
+ Ns
Cx
1
+ D1
+ + + K+ + K+ +
2 2 2 2 s
2
x + px+ q ( x + px+ q) ( x + px+ q)
x + ex+
d
Cx
2
+ C2
Cx
r
+ Dr
+ + K +
2 2 2
r
( x + ex+ d) ( x + ex+
d)
,
äå A 1 , ..., B 1 , ..., C 1 , ..., D 1 , ..., D r — äåÿê³ ñòàë³.
Ïðè öüîìó äëÿ êîæíîãî ìíîæíèêà â ðîçêëàäàíí³ çíàìåííèêà
q n (x) âèïèñóºòüñÿ ñò³ëüêè åëåìåíòàðíèõ äîäàíê³â
(äðîá³â), ÿêà éîãî êðàòí³ñòü (m, k, s, r, ...).
Çíàìåííèêàìè åëåìåíòàðíèõ äðîá³â º âñ³ ö³ë³ ñòåïåí³
êîæíîãî ìíîæíèêà â ðîçêëàäàíí³, ïî÷èíàþ÷è ç ïåðøîãî
ñòåïåíÿ ³ çàê³í÷óþ÷è òèì ñòåïåíåì, êîòðèé ìíîæíèê ìຠó
ðîçêëàäàíí³ q n (x). ×èñåëüíèêàìè åëåìåíòàðíèõ äðîá³â ìîæóòü
áóòè ñòàë³ A 1 , A 2 , ... àáî ë³í³éí³ ôóíêö³¿ M 1 x + N 1 , ...,
âèõîäÿ÷è ç òîãî, ÷è º çíàìåííèê äðîáó äåÿêèì ñòåïåíåì
ë³í³éíî¿ àáî êâàäðàòè÷íî¿ ôóíêö³¿;
â) çâ³ëüíèòèñÿ â³ä çíàìåííèê³â, ïîìíîæóþ÷è îáèäâ³ ÷àñòèíè
ð³âíîñò³ íà q n (x);
ã) ñêëàñòè ñèñòåìó ð³âíÿíü, ïîð³âíþþ÷è êîåô³ö³ºíòè ïðè
îäíàêîâèõ ñòåïåíÿõ x â îáîõ ÷àñòèíàõ îòðèìàíî¿ òîòîæíîñò³.
×èñëî öèõ ð³âíÿíü äîð³âíþº ÷èñëó íåâ³äîìèõ A 1 , ..., B 1 ,
..., C 1 , ..., D 1 , ..., D r ;
276 277