ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

5. ∫ Pn
( x)arcsin
xdx . Öåé ³íòåãðàë ìîæíà âèðàçèòè ÷åðåç
³íòåãðàë
dx
∫ Pm
( x) , m = n+
1,
2
1−
x
ÿêùî ïîêëàñòè arcsin x = u, dv = P n (x)dx.
Àíàëîã³÷íî çíàõîäÿòüñÿ ³íòåãðàëè, ó ÿêèõ ï³ä çíàêîì ³íòåãðàëà
ì³ñòÿòüñÿ ôóíêö³¿ arccos x, arctg x, arcctg x.
ax
6. ∫ e sin bx . Â ðåçóëüòàò³ äâîðàçîâîãî çàñòîñóâàííÿ ìåòîäó
³íòåãðóâàííÿ ÷àñòèíàìè îòðèìàºìî ë³í³éíå ð³âíÿííÿ â³äíîñíî
çàäàíîãî ³íòåãðàëà. Éîãî ðîçâ’ÿçîê äຠøóêàíèé ðåçóëüòàò.
Íàïðèêëàä,
x
x
⎡ sin x = u dv = e dx⎤
x x
∫e sin xdx = ⎢
e sin x e cos xdx
x ⎥ = − ∫
=
⎣du = cos xdx v = e ⎦
x
⎡ cos x = u dv = e dx⎤
x x x
= ⎢
e sin x e cos x e sin xdx
x ⎥ = − − ∫
⇒
⎣du =− sin xdx v = e ⎦
ÂÏÐÀÂÈ
Çíàéòè ³íòåãðàëè.
8.30.
8.33.
x 1 x
⇒ ∫ e sin xdx = e ( sin x− cos x)
+ C .
2
∫ x
3 ln xdx ; 8.31. ∫ arcsin xdx ; 8.32. ∫ xarctg
xdx ;
2 −2x
∫ ( x + 1) e dx ; 8.34.
x
∫ xe dx ; 8.35. ∫ xln( x−1)
dx ;
ax
x
ax
8.36. ∫ e sin bxdx ; 8.37. ∫ e cos xdx ; 8.38. ∫ e cos bxdx .
8.4. ²ÍÒÅÃÐÓÂÀÍÍß ÐÀÖ²ÎÍÀËÜÍÈÕ
ÔÓÍÊÖ²É
8.4.1. Îñíîâí³ ïîíÿòòÿ ïðî ðàö³îíàëüí³ ôóíêö³¿
Äî êëàñó ðàö³îíàëüíèõ ôóíêö³é â³äíîñÿòüñÿ ôóíêö³¿, ÿê³
ìîæíà çîáðàçèòè ó âèãëÿä³ â³äíîøåííÿ äâîõ ìíîãî÷ëåí³â
(äðîáó):
R
mn
( x)
( x)
pm
( x) = ,
q
1
äå ( ) m m−
pm
x = a0x + ax
1
+ ... + am
— ìíîãî÷ëåí ñòåïåíÿ m,
1
( ) n n−
qn
x = b0x + b1x + ... + b — ìíîãî÷ëåí ñòåïåíÿ n. ²íêîëè ðàö³îíàëüí³
ôóíêö³¿ íàçèâàþòü äðîáîâî-ðàö³îíàëüíèìè. Ïðè öüîìó
n
êàæóòü, ùî äð³á º ïðàâèëüíèé, ÿêùî m < n.  ïðîòèâíîìó ðàç³
(m ≥ n) êàæóòü, ùî â³äïîâ³äíèé äð³á º íåïðàâèëüíèé. Ïåâíà ð³÷,
ùî ìíîãî÷ëåíè íàëåæàòü êëàñó ðàö³îíàëüíèõ ôóíêö³é ³ íàçèâàþòüñÿ
âîíè ùå ö³ëèìè ðàö³îíàëüíèìè ôóíêö³ÿìè.  çàãàëüíîìó
âèïàäêó øëÿõîì ä³ëåííÿì “ñòîâï÷èêîì” áóäü-ÿêèé íåïðàâèëüíèé
äð³á ìîæíà çîáðàçèòè ó âèãëÿä³ ñóìè ìíîãî÷ëåíà
³ ïðàâèëüíîãî äðîáó. Òàêèì ÷èíîì, ïðîáëåìà ³íòåãðóâàííÿ
çâîäèòüñÿ äî ³íòåãðóâàííÿ ìíîãî÷ëåí³â ³ ïðàâèëüíèõ äðîá³â.
8.4.2. ²íòåãðóâàííÿ ìíîãî÷ëåí³â
Ö³ëà ðàö³îíàëüíà ôóíêö³ÿ (ìíîãî÷ëåí) ³íòåãðóºòüñÿ áåçïîñåðåäíüî:
n n− 1 a0 n+
1 a1
n
∫( a0x + a1x + K+ an)
dx = x + x + K + anx+
C .
n+
1 n
8.4.3. ²íòåãðóâàííÿ äðîáîâî-ðàö³îíàëüíèõ ôóíêö³é
 ïîâíîìó êóðñ³ âèùî¿ àëãåáðè äîâîäèòüñÿ, ùî ïðàâèëüíèé
ðàö³îíàëüíèé äð³á ðîçêëàäàºòüñÿ íà åëåìåíòàðí³ äîäàíêè,
ÿê³ çàâæäè ³íòåãðóþòüñÿ. Ö³ äîäàíêè ìîæóòü áóòè òàêèõ
äâîõ âèä³â:
A Mx+
N
,
m
2
( x− a) ( x + px+
q)
äå m ³ n — ö³ë³ äîäàòí³ ÷èñëà.
n
n
,
274 275